函数的极值和最值(I)

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1、第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题函数的极值设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数的极值及其求法对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.函数的极值是函数的局部性质.设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f(x0)0.驻点使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点

2、.定理1(必要条件)思考:极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？思考:极值点不一定是驻点.如y=

3、x

4、,x=0是极值点,但不可导驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,点击图中任意处动画播放暂停确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号;(4)确定出函数的所有极值点和极值.例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为

5、定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2求函数f(x)(x21)31的极值解f(x)6x(x21)2令f(x)0求得驻点x11x20x31f(x)6(x21)(5x21)因为f(0)60所以f(x)在x0处取得极小值极小值为f(0)0因为f(1)f(1)0所以用定理3无法判别因为在1的左右邻域内f(x)0所以f(x)在1处没有极值同理f(x)在1处也没有极值试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值

6、为求出该极值,并指出它是极大例3二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:若函数f(x)在闭区间[ab]上连续(1)求出函数f(x)在(ab)内的驻点和不可导点设这此点为x1x2xn;(2)计算函数值f(a)f(x1)f(xn)f(b);(3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在[ab]上的最大值最小者是函数f(x)在[ab]上的最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值,则也是最大(大)值.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出.例4.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在

7、及取最大值5.(k为某一常数)例5.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,例6.假设某工厂生产某产品x千件的成本是售出该产品x件的收入是解:由题意，售出x千件产品的利润是即令而在得发生局部处达到最大利润，又故在问是否存在一个能取得最大利润生产水平？若存在，找出这个水平.解得最大亏损.清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.一张1.4m高的图片挂

8、在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D

9、3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A作业：p-162习题3-51(5),(9);2;4(3)5;10;13;15