函数的极值和最值(习题)

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1、【巩固练习】1.设函数/(兀)在/?上可导，其导函数/©),且函数/(X)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf(x)的图象可能是2.设a>0,b>0,c是自然对数的底数A.若e10il12+2a=eb+3b,贝!ja>bB.若ea+2a=eb+3b,则a

2、a>bD.若ea-2a=eb-3b,贝0a

3、冷宀」的单调递减区间为A(-1,1]B(0,1]C[l,十8)D(0,+«)5.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；@f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6•函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是o7.函数y=l+3x-x3的极大值是,极小值是o8.函数f(x)=12x-x3在区间卜3,3］上的最小值是-D=A

4、CB.9.函数f(x)=ln(l+x)-x的最大值为。(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数/(x)=2x3-3(l+a)x2+6股在D内的极值点.15.设/(x)=aex+-^―+b(a>0)aex⑴求于(兀)在[0,+oo)上的最小值；3(II)设曲线y=/(x)在点(2J⑵)的切线方程为y=—无；求的值.2【参考答案与解析】1・C2.A3.D4.B5.C6.(—,+oo)7.3,-1:e11.【解析】若a>0,则8.-16；9.0；10.—+6当x=-a时，f(x)的极大值为5a3o当x

5、=3a时，f(x)的极小值为・27a若a<0,则当x=3a时，f(x)的极大值为Qa?,当x=-a时,f(x)的极小值为5a312.aW—313.【解析】(I)a二-3,b二4(II)当xW[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c因为对于任意的xE[0,3],有f(x)9,因此c的取值范围为(-8,-1)U(9,+8)14.【解析】(1)令g(兀)=2兀$-3(l+d)兀+6d,△=9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3d

6、-l)(a-3)。①当0vaW丄时，△»(),3方程g(兀)=0的两个根分別为3a+3+』9(广—30。+9屯=4所以g(x)>0的解集为(一°°,3d+3-(9^2—30d+9)u(3a+3+J9cd-30g+944因为兀],乳2>0,所以d=aab=(o,3a+3-j9/—30a+94)U(3a+3+』9cr-30a+9-4②当打vl时,A<0,则g(x)>0恒成立,所以D=AC[B=(0,+oo)9综上所述，g吕时,D=(0,3a+3_』9c「-30q+9)u(3a+3+J9cr-30a+9

7、44当打VI时,(2)fx)=6x2一6(1+a)x+6a=6(x一a)(x一1),令fx)=0，得x=g或x=l。①当00,g(l)=2—3(l+a)+6a=3a—ISO,所以0VdVX]<1

8、1)知£)=(0,+8),所以广(兀),/(兀)随兀的变化情况如下表：X(0,67)a(d,l)1(l,+oo)fM+0—0+/(x)极大值极小值7所以/(x)的极大值点为x=a,极小值点为x=o综上所述，当0<。5丄时，/(x)有一个极大值点x=af没有极小值点；当~);则y二G+丄+二a-一=at7atarar①当d'l时，y=at+丄+b在r>l上是增函数at得:当f=1(兀=0

9、)时,/(%)的最小值为a+—+ba②当0vavl时，y=〃+丄+/?X2+bat当且仅当at=l(t=ex=—,x=-lna)时，f(x)的最小值为b+2a(TI)/(x)=aex+-}-b=>fx)=ae[/⑵=321,cic+J+b=3<•厂⑵=-2132ae=ae~2l+l题意得:?aex2^=—e〜b=-2aex10.函数y=x+2cosx在区间［0,丄］上的最大值是。211.已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x(a^0),求f(x)的极大值与