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1、第七单元向量代数空间解析几何一、向量概念及其加、减法和数乘运算1、两点A（x1,y1）,B（x2,y2）之间的距离AB2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。记作：或aABAB向量的模：︱︱0向量：模为0的向量。记作：0单位向量：模为1的向量。记作：a0，（）3、两向量相等：方向相同，模相等。记作：a=b4、加法运算：a+b=b+a(交换律)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）5、数与向量的积：记作λa（λ为常数）λa的模：︱λa︱=︱λ︱︱a︱λa的方向：当λ>0时，与a同向，当λ<0时，与a反向。6、向量的坐标表示法：设向量的起点为M1（x1,y1,z1）,终点为M2（x2
2、,y2,z2）,则M1M2=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)kM1M2︱︱=7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i，j，k8、向量的加、减法与数乘运算a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzka±b=（ax±bx）i+（ay±by）j+（az±bz）k19λa=(λax)i+(λay)j+(λaz)k例1设向量a=8i+9j-12k，其始点坐标为A（2，-1，7）（1）求其终点B的坐标（2）如取向量a方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标（始点仍为A）解：（1）设终点坐标为B（x,y,z）,则有ABAB=(x-2)i+(y+1)j+(z-
3、7)k，令=a，即8i+9j-12k=(x-2)i+(y+1)j+(z-7)k，所以有：x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5故终点坐标为B（10，8，-5）（2）与a同向的单位向量为：a0=a∕∣a∣=与a同向的模为34的向量为：b=34a0=16i+18j-24k设其终点坐标为B（x,y,z）,仿（1）得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17故终点坐标为B（18，17，-17）9、方向角与方向余弦向量a分别与x、y、z三个坐标轴的正向不超过的夹角，用α、β、γ表示，则称他们为向量a的方向角，cosα、cos
4、β、cosγ称为方向余弦，且cos2α+cos2β+cos2γ=110、单位向量的三角表示法19a0=icosα+jcosβ+kcosγ11、方向余弦的计算设向量a的坐标表示为：a=xi+yj+zk，则例2设向量a={x,y,z}的方向角α=600，β=600且∣a∣=3，问这种向量有几个，求之。解：设第三个方向角为γ，则由cos2α+cos2β+cos2γ=1得cos2γ=1-cos2600-cos2600=，cosγ=,这样的γ有两个子，所以这样的向量也有两个：a=∣a∣a0=3（icosα+jcosβ+kcosγ）=i+j+k或a=i+j-k(单位向量的三角表示式)例3设一向
5、量与x轴及y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向余弦.解:设该向量与x、y轴的夹角为α，则与z轴的夹角为2α，所以cos2α+cos2α+cos22α=1,2cos2α+(2cos2α-1)2=1即4cos4α-2cos2α=0,解得cosα=0或（负值为第二象限的角，2倍大于，故舍去）所以方向余弦为0，0，-1或19一、数量积（点积）和向量积（叉称）的计算及应用1、数量积（点积）：a·b=∣a∣∣b∣cosθ,为一数量θ为a与b的夹角，运算性质：a·b=b·a(交换律)a·（b+c）=a·b+a·c(分配律)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)(结合律)
6、2、两向量间的位置关系向量a在向量b上的投影：（数量）ab=∣a∣cos(a,b)或记作平行：a∥ba=λb或b=λa或λa+μb=0（λ，μ不同时为0）垂直：a⊥ba·b=0（(a,b)=，cos(a,b)=0)a·a=∣a∣2两向量的夹角计算公式:设a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则∣a∣=,∣b∣=a·b=x1x2+y1y2+z1z2cos(a,b)==3、向量积a×b=c为一向量①模：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ,θ为a与b的夹角，19①C垂直于a、b所确定的平面∣a×b∣的几何意义:以a、b为邻边的平行四边形的面积（也可用于计算三角形的面积）运算性
7、质：a×b=-b×aa×（b+c）=a×b+a×c(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)计算方法：a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则ijka×b=x1y1z1(为一向量)x2y2z24、两向量平行的充分必要条件a×b=0即5、基本单位向量的点、叉积关系i·i=j·j=k·k=1,（θ=0,cosθ=1）i·j=j·k=k·I=0,（θ=,cosθ=0）i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=I,k×i=j6、三阶行列式的计算a1b1c1a
