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《第七章 实数的完备性 - 运城学院课程建设网站.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章实数的完备性判断题：1.设为开区间集,则H是(0,1)的开复盖.2.有限点集没有聚点.3.设S为闭区间,若则必为S的聚点.4.若存在,则点集只有一个聚点.5.非空有界点集必有聚点.6.只有一个聚点的点集一定是有界点集.7.如果闭区间列满足条件,则闭区间套定理成立.8.若在上一致连续,则在上连续.9.闭区间上的连续函数一定有界.10.设为R上连续的周期函数,则在R上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√证明题1.若A与B是两个非空数集,且有,则.2.证明:若函数在单调增加,且,有(其中M是常数),则使.3.证明:若E是非空有上界数集,设且,则存在数
2、列,有.4.证明:函数在开区间一致连续函数在开区间连续,且与都存在.5.设为单调数列,证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.6.证明:在上一致连续.7.证明:为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.8.设在上连续,又有,使.证明:存在,使得.答案1.证明:设用反证法.假设即有,一方面,则存在另一方面,则.于是,有,与已知条件矛盾,即.2.证明:已知数集有上界,则其存在上确界,设由上确界的定义,,使得;或有或.即.3.证明:已知,由确界定义,,有,有,并且,有,并且于是,得到数列.有.4.证明:已知在一致连续,即,有显然在连续,且,有.根据柯西收
3、敛准则,函数在存在右极限同理可证函数在存在左极限.已知与存在,将函数在作右连续开拓,在作左连续开拓,于是函数在闭区间连续,从而一致连续,当然在也一致连续.5.证明:不妨设递增.(1)先证若存在聚点必唯一.假定都是的聚点,且.取,由是聚点,必存在又因递增,故时恒有于是,在中至多含的有限多项,这与是的聚点相矛盾.因此的聚点存在时必唯一.(2)再证上确界存在且等于聚点.为上界.如果某个,则时恒有,取则在内至多含的有限多项,这与为的聚点相矛盾.对由聚点定义,必存在使.由定义.6.证明:令由于,而时,所以在上连续,又因存在,所以在上一致连续,从而在上也一致连续,即在上一
4、致连续.7.证明:设为有界数列,则的任一子列也有界,由致密性定理知必存在其收敛子列.设的任一子列都存在其收敛子列.若无界,则对,必存在正整数使得;对存在正整数使得一般地,对,存在正整数使得.于是得到的子列,它满足,从而的任一子列必须是无穷大量,与充分性假定相矛盾.6.证:因为有界数列,故必有收敛子列,设,由于,故.一方面,由于在连续有再由归结原则有;另一方面,由及是的子列有因此
