第七章 实数完备性

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1、第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理教学目的与要求：1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备；2）掌握区间套、聚点等重要概念；3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。教学重点，难点：熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则

2、和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法,提高学生的分析论证能力教学内容：一区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列具有如下性质：（i）(ii),则称为闭区间套，或简称区间套．这里的性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：　　　　　　　　　(1)定理7.1（区间套定理）　若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得即　　　　　　　　　　　　　　　

3、　（２）分析即要证明闭区间列有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列和都存在极限，我们只要证明这两个数列极限相等且属于所有的，则找到一个公共点；然后证明唯一性。证　由（１）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有　　　　　　　　　　　　　　　　（３）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有，　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）联合（3）、（5）即得（2）式最后证明满足（2）的是唯一的．设数也满足则由（２）式有由区间套的条件（ii）得故有　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□注1　区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立．对于开区间列，有可能不成立，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点．注2应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套。一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，即闭区间列满足（i）(ii),另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中。前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间唯一存在公共点；后者则把证明整个区间上所具有某性质的问题归结为点邻域的性质，完

5、满实现“整体”向“局部”的转化。由（４）容易推得如下很有用的区间套性质：推论　若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的＂数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）,即数列收敛的充要条件是：对任给的,存在,使得对有.分析由数列极限定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。我们将对柯西列构造区间套，使得在每个外只有数列中有限项。证[必要性]设由数列极限定义,对任给的,存在,当时有因而[充分性]按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间内含有中几

6、乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”)。 据此，令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记这个区间为 再令，则存在在区间内含有内含有中几乎所有的项。记 它也含有中几乎所有的项，且满足 继续依次令，照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含有中几乎所有的项，且满足即是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数。现在证明数就是数列的极限。事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在使得当时有因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得.□注本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。注意本证明中构造区

7、间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法。二聚点定理与有限覆盖定理定义2设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于）。若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点。例如，点集只有一个聚点又若S为开区间（a,b）,则（a,b）内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点。注1点集的聚点可以属于，也可以不属于；注2设是数集，不是的聚点存在，在中至多包含中有限多个点。聚点概念的另两个等价定义如下：定义对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为S的一个聚点。定义若存在各项互异的收敛

8、数列，则其极限称为S的一个聚点。关于以