3、界；由右端点构成的数列｛$｝单调下降有下界.定理1(区间套定理)若闭区间列｛［色,化］｝为区间套，则眈，口讣忆5柯西收敛准则数列｛陽｝收敛o>0,3N>0,9“〃?，n>Nnam一atlI<.6聚点原理定义2设S是直线上的点集，g是一定点.如果Vr>0,t/（g,£）ns有无穷多个点，则称§为点集S的聚点.等价定义：f为点集S的聚点o/£>0,定理3（维尔斯特拉斯聚点原理）有界无限点集必有聚点.推论（致密性定理）有界数列必有收敛的子列.7有限覆盖定理设S是直线上的点集，H为一开区间集，如果VxgS,BAgH,,则称H为S的一个开覆盖，或称//覆盖S.若H中的开区间是无限个，则称H为S的一个
4、无限开覆盖；若H中的开区间是有限个，则称H为S的一个有限开覆盖.定理4（波雷尔有限覆盖定理）H为闭区间［g,创的一个开覆盖，则在H中存在有限开覆盖覆盖［a,h］.以上介绍的7个定理是等价的，即从其中任一个定理出发，都可以推出其余的6个定理.二习题解答1验证数集［（-1）"+丄!有且只有两个聚点^=-1和§2=-1・解:设陽=（_1）"+丄,则V£>0,AZi/（6，£）n｛a“｝工0,（7©，£）na｝工0,所以$=_1和盘=-1是｛（-1）"+昔的聚点•又V鉀±1，取则N>0,产?>”=>匕｝门卩（：£）=0”，所以§非｛（一1）"+「的聚点,故*7"+*｝有且只有两个聚点^=-i和灸=-1
5、•2证明：任何有限数集都没有聚点.证：设E为有限点集，则唇R,五>0,列［/°($,£)0£=0”，故结论成立.3设｛(色,仇)｝是一个严格开区间套，即满足a】v偽v…v陽v…・vbn<…8证：作闭区间｛［an,bn］，则由闭区间套定理知，3
6、^,今只须证明Vh,^an或V%的化,即可.如果酣，眩=唧，则兀〉N时,§=去仇］,此与an/I=1,2,…矛盾，所以0仏§工色，同理V/t,^bn,故©<§v®,n=l,2，….4试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定里、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.解：IXS
7、=｛.r:xe2,
8、x
9、1,于是X3/zgAT,丄vn+2”，兀即“，故(0」)uU亠丄•5+2nJ衫5+2nJ(2)⑴不能从H中选出有限个开区间覆盖(0丄〔I2丿假设在H中能选出有限个开区间覆盖fo,-
10、L则这有限个开区间左端I2丿点必存在最小者.设左端点的最小者为a,取xe(0,6z),则兀不被选出的有限个开区间覆盖，此与假设矛盾，故不能从H中选出有限个开区间覆盖(1(ii)能从H中选出有限个开区间覆盖］丄取77=100,贝IJk100)r1.J00100/
11、6证明：闭区间［d,b］的全体聚点的集合是
12、亿勿本身.证：X/fw［d,b］,贝IJV£>O,C/°(§,£)n［d,b］H0,即纟为［d,b］的聚点，由纟的任取性知［a,勿中的所有点都［。上］的聚点.又设孑为［彳勿的聚点，假设§W［a,b］,取£a~^b_§o-min,,22则=0,此与§为［a,/?］的聚点矛盾，故［a.b］,由§
13、的任意性知［ayb］的所有聚点都在［d,切中•综上,［a.b］的聚点集就是［仏b］本身.7设｛£｝为单调数列.证明：若｛血｝存在聚点，则必是唯一的，且为｛勺｝的确界.证：不妨设｛兀“｝单调上升，因｛血｝存在聚点，贝
14、」｛兀”｝必有上界.否则lim%w=+oo,于是VAgR,｛兀“｝中小于A的项至多只有有限项，此与｛兀｝HT8存在聚点矛盾.由确界定理知，｛血｝必有上确界，设｛兀“｝的上确界为0,则0
