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1、《数学分析》教案第七章实数的完备性(6学时)§1关于实数完备性的基本定理教学目的要求：掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明..学时安排:4学时教学方法:讲授法.教学过程如下:一、区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列具有如下性质：（1）（2）则称为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理)若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点使得,即证:先证存在性是一个区间套,所以可设且由条件2有由单调有界定理的证明过程有再证唯一性设也满足那么,由区间套的条件2得故有推论若是
2、区间套所确定的点,则对任给的,存在,使得当时有柯西收敛准则数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有《数学分析》教案.证[必要性]略.[充分性]已知条件可改为：对任给的,存在,使得对有.取，有对任给的,存在,使得对有，即在区间内含有中几乎所有的项（指的是中除有限项的所有项）令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记该区间为.再令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记该区间为也含有中几乎所有的项,且满足及依次继续令得一区间列,其中每个区间中都含有中几乎所有的项,且满足即时是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数.再证.由定理7.1的推论对任给的,存在,使得当时有即在内含中除
3、有限项的所有项,由定义.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2设为数轴上产的点集，为定点，若的任何邻域内都有含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点.例如:有两聚点.有一个聚点.内的点都是它的聚点,所以开区间集有无穷多个聚点.聚点的等价定义;定义对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为《数学分析》教案的一个聚点.定义若存在各项互异的数列,则其极限称为的一个聚点.三个定义等价性的证明:证明思路为:.定义的证明:由定义设为的一个聚点,则对任给的,存在.令,则存在;令,则存在,且显然;令,则存在,且显然与互异;得中各项互异的数列,且由,知.由闭区间套定理可证聚点定理.定理7
4、.2(Weierstrass聚点定理)实数轴上的任一有界无限点集致少有一个聚点.证有界,存在,使得,记,将等分为两个子区间.因为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为,则且.再将等分为两个子区间,则其中至少有一个含有中无穷多个点,取出这样一个子区间记为,则,且依次继续得一区间列,它满足:即为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一点使得.由定理1的推论,对任给的,存在,使得当时有.从而含有中无穷多个点按定义2为的一个聚点.推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证:设为有界数列.若中有无限多个相等的项,显然成立
5、.《数学分析》教案若数列中不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由定义,存在的一个收敛子列(以为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有.证:[充分性]先证有界,由忆知条件取,则存在正整数N,则及时有由此得.取则对一切的正整数均有.再证收敛,由致密性定理,数列有收敛子列,设由条件及数列极限的定义,对任给的,存在,使得对有，取时得到所以定义3设为数思轴上的点集,为开区间集合(即的每一个元素都是形如的开区间).若中的任何一个点都有含在中至少一个开区间内,
6、则称为的一个开覆盖,(覆盖).若中开区间的个数是无限的(有限)的,则称为的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如为的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理)设为闭区间的一个(无限)开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖.证用反证法设定理的结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用《数学分析》教案中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.依次继续得一区间列,它满足:即为闭区间套,且其中每一个
7、闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖由闭区间套定理,存在唯一的一点使得,由于为闭区间的一个(无限)开覆盖,故存在使得.于是,由定理7.1的推论,当充分大时有.即用中一个开区间就能覆盖矛盾.课后记:这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1如何理解记忆定理内容.2如何掌握定理的证明方法.3怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点
