保险中带注资的最优分红问题的分析

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1、摘要摘要红利分配问题自从上世纪以来一直都是金融保险研究的一个热点问题，它主要来源于对公司金融／财务决策问题的研究。DeFinetti[26】最先提出以最大化破产前的期望累积折现分红作为保险公司价值的尺度，他指出了在一定意义上这是一种比用破产概率刻画公司风险价值更好更现实的一种尺度。最优分红问题的研究已具有很长的历史，继DeFinetti【26】研究了一类简单的离散时间的随机游动并证明其最优分红策略存在且为边界策略(barrierstrategy)之后，许多文献研究了更一般的离散时间的随机模型，证明了最优的分红策略为所谓的带状策略(ba

2、nd策略)。Gerber【311首次研究了连续时间风险模婺卜古典风险模型中的最优分红问题，并利用离散化技巧证明了最优策略为带状策略，特别地，当索赔分布为指数型时，最优策略退化为边界策略。直到二十世纪九十年代精算学者开始把随机控制理论应用到保险风险模型中，最优分红问题才取得了突破性的进展。其中大部分是基于对常系数扩散模型及古典复合泊松模型这两类具有平稳独立增量的风险模型的研究以及少数利用波动理论对谱负L舌vy模型的研究。在这类问题的研究中，为了使分红量尽可能的大，保险公司可能会采取一些相应的措施例如再保险或投资金融市场。这时保险公司所面

3、临的问题就是如何寻找最优的再保险和投资策略使得总红利达到最大，这类问题都属于金融保险中的随机最优控制问题。参考文章AlbrecherandThoahauserf11，AsmussenandTaksar}31，Asmusseneta1．f41，AzcueandMuletf61，Belhaj【lo]，Choullieta1．f20]，Choulli[21】，GerberandShiu【34，35]，HcjgaardandTaksar[39，40，4l】，Paulsen【58]，PaulsenandCjessing【59]，Taksar[6

4、7】，等等。通过对扩散模型中以及经典风险模型中最优分红问题的研究，我们知道最优的分红策略通常为边界或带状分红策略，而如果公司按照此策略进行红利分配的话，公司一定会破产。因此为了克服这一缺陷，SethiandTaksar[65】提出了在这一模型中引入融资的可能性，即当公司一旦出现赤字，公司可以通过筹资防止公司破产，从而使公司能继续经营下去，而且还证明了此时公司的价值等于破产前公司收到红利的期望折现值减去融资的期望总成本。此时公司所面临的问题是I摘要如何选择分红及注资策略才能使上述公司的价值最大化(此问题以下简记为“分红减注资”)。基于以

5、上背景，我的论文主要致力于研究带注资的最优分红问题，这也是本文的主体部分。另外，除了用破产前总的分红量来衡量公司的价值以外，期望财富效用(某时刻的期望财富效用或者某段．时同的累积期望财富效用)一直以来也是很多公司用来衡量公司价值的重要尺度之一。因此以期望财富效用作为优化准则的最优控制问题是本文研究的第二类问题。本篇论文的结构和内容安排如下：全文分三个部分共七章。第一部分(即第1章)为引论部分，着重介绍了分红问题的相关背景以及本文的主要内容及结果，另外还分别介绍了本篇论文所用到的主要符号，基础框架模型以及基本的随机最优控制理论。论文的第

6、二部分研究以带漂移的布朗运动以及经典风险模型作为基础框架模型下的最优分红和注资问题。这一部分一共分为四章，包括第2章至第5章。第2章以古典模型的扩散近似模型作为基础框架，引入便宜型混合再保险，考虑了“分红减注资"目标下的最优分红注资问题。这里的混合再保险指的是比例再保险与超额损失再保险的混合(下文相同)。通过构造一类子模型“注资保证永不破产"，并利用该子模型值函数非负的性质以及基本的随机最优控制理论我们证明了这类子模型的值函数就是所求最优问题白啦函数，这样我们将最初的未带初始条件的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman

7、)方程转化为带初始条件的HJB方程，从而问题得到简化。同时，我们也证明了在这类最优准则下最优混合再保险策略为纯超额损失再保险策略，结合Asmusseneta1．【4】中的结论，我们验证了在扩散模型中以最大化累积期望折现分红作为目标函数时，融资机会的引入不改变超额损失再保险优于比例再保险的性质。第3章将再保险推广到了一般的情形，既包括便宜型也包括非便宜比例再保险，研究了“分红减注资’’目标下常系数扩散模型中的最优分红注资问题。与第2章类似，本章的困难之一是值函数在零点的边界条件未知。利用LckkaandZervos【511中的思想，我们

8、首先构造两类子模型“永不注资"以及“注资保证永远不破产"(这两类子模型值函数的边界条件已知)并通过HJB方程的方法分别计算出这两类子模型下的最优策略和值函数的显式表达式，然后再利用验证定理及子模型值函数的表达式证明了原问