2007年荆门高一数学竞赛试题

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1、2007年荆门市高一数学竞赛试题一、选择题：每小题6分，共36分。将答案代号填入题后的括号内。1.已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x－6x+8<0｝，则(A)∩B等于（）A.[－1,4]B.(2,3)C.D.(－1,4)2.函数的部分图象如右图所示，则的解析式可能是（）OxyA．B．C．D．3.设有两个命题，p：不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是（）A．［1，2）　　　

2、　Ｂ.（２，］　　　　C．［2，］　　D．（1，2］4.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式

3、Sn－n－6

4、<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．85.函数的值域为（）A．B．C．D．6.当时，下面四个函数中最大的是（　　）A.B.C.D.二、填空题：每小题9分，共54分。将答案填在题后横线上。7.已知，且，则的值是____________________。高一数学试题第7页（共4页）8.若函数与互为反函数，则的单调递增区间是。9.函数f定义在正整数

5、集上，且满足f(1)＝2007，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)，（n>1），则f(2007)的值是_________________。10.已知，把数列的各项排成三角形状如右图所示；记表示第行中第个数，则。11.已知是定义在R上的函数，且，若，则的值为。12.已知函数的图象经过点A（0，1）、时，的最大值为，则的解析式为＝　　　　　　　　　　　　。一、解答题：每小题20分，共60分。解答应写出必要的文字说明、运算过程或推理步骤。13.（本小题满分20分）已知.（I）求的值；（Ⅱ）求的值.高一数学试题

6、第7页（共4页）14.（本小题满分20分）已知数列中各项为：个个12、1122、111222、……、、……（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn.高一数学试题第7页（共4页）15.（本小题满分20分）设二次函数满足下列条件：①当时，的最小值为0，且成立；②当时，≤2+1恒成立。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m(m>1),使得存在实数,只要当x∈时，就有成立。高一数学试题第7页（共4页）2007年荆门市高一数学竞赛试题参考答案1．C解：全集且∴(A)∩B=

7、，选C.2.B解：由=0排除A；对于有，排除C；由为偶函数图象关于y轴对称，排除D.∴选B。3.A解：记A＝{a︱不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R}，B＝{a︱f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上是增函数}，由于函数y＝︱x︱+︱x+1︱的最小值是1，∴A＝{a︱a＜1}.由于f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上递增，∴7－3a＞1，即a＜2，∴B＝{a︱a＜2}.又p或q为真，p且q为假，∴p与q中有且仅有一个正确，即a的取值范围是［（ＲＡ）∩B］∪［（ＲB）∩A］，而（RA）∩B＝［

8、1，2），（ＲB）∩A＝故选Ａ.4.C解：由递推式得：3(an+1－1)=－(an－1)，则{an－1}是以8为首项，公比为－的等比数列，∴Sn－n=(a1－1)+(a2－1)+…+(an－1)==6－6×(－)n，∴

9、Sn－n－6

10、=6×()n<，得：，∴满足条件的最小整数，故选C。5.D解：的定义域为则可令，则因，则故选D6.C解：因为，所以。于是有，。又因为，即，所以有　。因此，最大。故选C.7.2解：∵∴8.高一数学试题第7页（共4页）9.解：由题f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)，f(1)＋f

11、(2)＋…＋f(n-1)＝(n－1)2f(n－1)。∴f(n)＝n2f(n)－(n-1)2f(n-1)∴f(n)＝f(1)∴f(2007)＝10.解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有项，∴是数列中的第89项，∴。故应填11.解：，即函数的周期为8，故。12.　解：由当当1－a＞0，即a＜1时，；当1－a＜0即a＞1时，无解；当1－a=0，即a=1时，，相互矛盾.故13.解：解：(Ⅰ)由,得,得，∵=,又∴,∴(Ⅱ)==高一数学试题第7页（共4页）14.解：（Ⅰ）个记：A=,则A=为整数=A(A+1)，得证

12、(Ⅱ)15.解：(Ⅰ)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1(Ⅱ)由①知二次函数的关于直线x＝—1对称,且开口向上故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=∴(Ⅲ)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.则f(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0.令g(x)=