数学综合题精选

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1、21.—片成熟森林的总面积为a(近期内不再种植)，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所川时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的42(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林己砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐而积的百分比为x(0

2、m=5,故到今年为止，已砍伐了5年.102(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余而积为-x)n.令113n3B

3、J(l-x)n>^-,化简得可得解得15.故今后最多还能砍伐15年.22.已知定义在［-2,2］上的偶函数f⑻满足：当xe［0,2］时，f(x)=-x+2^.(1)求函数f(x)的解析式：(2)设函数g(x)=ax-2-a(a〉0)，若对于任意的，x2E［-2,2］，都有g(Xl)

4、+^,Yf(x)定义xe[-2,2]在偶函数•••f⑶=f(-x)=x4-2^Tx/.f(x)=j(2)由题意得“对任意xWt-2,2］,都有成立”等价于“g(x)inax/3+x.设t=0+X，贝ljte［l，占］令g(t)=t2+2t-3=(t+l)2-4，te［1，相，则当t=l时，函数g(t)取得最小值g(l)=0，所以f(x)min=0。又g

5、(X)max=g(2)U由a_2<0,解得a<2,因此实数a的取位范围为(0,2).m•4X+123.己知函数f(x)=m(mGR).2X(1)若函数f(x)有零点，求m的取值范围；(1)若对任意的xe［-1,0］，都有0sf(x)$l，求m的取值范围.解：(1)由函数f(x)有零点得：关于x的方程m•4x_m•2X+1=0(meR；)有解.令t=2x，则t〉0,于是有关于t的方程mt2-mt+1=0有正根.设g«=mt2-mt+1,则函数g(t)的图象恒过点(0，1)且对称轴为t=2①当ni<0时，g(t)的

6、阁象幵口下，故g(t)=0恰有一正数解；②当m=0时，g(t)=1#0,不合题意；③当m:>0时，g(t)的图象开口向上，故要使g(t)=0有正数解，m需使1'4,解得11124.综上可知实数111的取值范围为(-00,0)0［4，+0)).g-=—<02)4mm•4X+1(2)由0$f(x)$1恒成立得0$-m

7、x-2x=2x(2x-l)<0111故由小等式OSm•(4、-2x)+1S2X可得：~~；，xe［-bO)7XG［.1,0),A-<2X<1,22-42,111=>4则1<^22，2x-4x2/2x^2+1_•••2$!11$4综上可得实数111的取值范围［2,4］.2~2)+419.己知f(x)为定义在卜1，1］上的奇函数，当xM-1,01时，f(x)=c_2x-ac_x(aGR),其巾e为自然对数的底数.(1)求出a的值以及f(x)在［0，1］上的解析式；(2)求出f(x)在定义域上的最大值和最小值.解：(

8、1)因为f(x)为定义在卜1，1］上的奇函数，且f(x)在x=0处有意义，所以f(0)=0，即f(0)=1-a=0,所以a=1，设［0,1］,则-xe［-1刈，所以f(_x)=clx_cx，又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)在［0,1］上的解析式为f(x)=ex•e2x.(2)当x€［0，l］时，f(x)=ex-e2x，设t=ex(t£［l，e］)，f(x)=g(t)=t-12,g(t)在［l，e］上是减函数，当t=l时，f(x)取最大位g⑴=0，当t=e时，f(x)取最大值6_,，根据奇函数的性质可知，

9、f(x)在定义域上的最大值为e2-e,最小值为e-e2.20.设函数f(x)=log2(l+a.2x+4x),其屮a为常数.(1)当f(2)=f(l)+2,求a的值;(2)当?<£［1，+00)时，关于x的不等式f(x)2x-l恒成立，求a的取值范围.解：(1)f(x)=log2(l+a-2x+4x),所以f(l)=log2(l+2a+4),f(2)=log2(l+4a+