定积分的求法与应用

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1、第2章定积分的求法2.1定积分概念定义1:设闭区间［6Z，/?1上有/7-1个点，依次为“=%<又1<又2<...<%,,_1<义/,=/7，它们把［“，/?1分成72个小区间△,.=［'_,，'］，/=1,2,这些分点或这些闭子区间构成对［G，/?］的一个分割，记为丁=｛〜，七，…，％,,｝或｛ApAy.’Aj。（详见［1］［3］）定义2:设/是定义在M，/?］上的一个函数。对于l6Z，/?j的一个分割r=｛么，/^，...，',｝,任収点Apz=1，2，...，心并作和式,称此和式函数/在［g,Z?］上的一个积分和。（详/=1见［1］［3］）定义3:设/是定义在0，/71上的一个函数，

2、J是一个确定的实数。若对任给的正数总存在某一正数使得对［«，/?］的仔何分割：T，以及在其上任意选取的点集｛&｝,只要

3、

4、7j

5、<5,就有）^.-7<£,则称函数/在区间M，/门上可积；数J在h，/7］上的定积分，记作/=!J=f/（x）沁.其中，/称为被积函数，A：称为积分变量，［G，/?】称为积分区间，67、6分别称为这Ja个定积分的下限和上限。（详见［1］［3］）2.2定积分的求法2.2.1运用定义求定积分首先，我们考虑用定积分的定义来求解。根据定义，分三步求解：将［6/，/?］分成n个小区间，n&n求得分割r;近似求和取极限£/（%）也=/=1°11”卜0,=

6、例1用定义计算£x2

7、&.12解（1）分割把fo，ii等分，r=｛0，一，一，…，1｝nn（2）近似求和取☆•〃/11n11=£.丁—=丁》2=—--^+1X2/7+1)一y=in0fln111(3)取极限［x2dx=limV/(^.)=lim—•-n{n+l)(2n+1)=-Jo1TIH°"，打、’63说明：这种利用定义，“三步走”的方法，求出积分和的极限来计算定积分一般而言是比较困难的。下面会介绍几种简便的方法。2.2.2运用几何意义求定积分定积分的几何意义：连续曲线y=/(x)20在上形成的曲边梯形而积为S=f{x)dx；Ja对于［tz,/?】上的连续函数/，当/(X)2O,xek，刎时，定积分的儿何意义

8、就是该曲边梯形的面积;当/(x)<0,时，这时J=-£［-/(%)］也是位于％轴下方的曲边梯形而积的相反数，称为“负而积”。(详见［11)例2利用定积分的儿何意义，证明J^-x2dx=f.解令y二W-x2，xe［-U］，显然y>0，则由)，=Vl—义2和直线x=—l，x=l，y=0所围成的曲边梯形是单位圆位于;v轴上方的半圆.如图1所示.因为单位圆的而积A=,TT所以半圆的面积为一.2由定积分的几何意义知:J->2说明：对于一般阁形的表达式，能够清楚地画出在坐标轴屮的阁像。然后求出在上下限所规定的范围内，图像表示的而积，就可得fli定积分的结果。推广：对于本题中将上下限改为-则半圆緬积

9、为即定积分的值。这种方法是十分直接简单的。2.2.3运用牛顿一莱布尼茨公式求定积分定理1若函数/在［tz，/?1上连续,且存在原函数F，即Fx)=f(xxe［a,b］，则/在N，/?1rb上可积，且丨=F0).这称为牛顿一莱布尼茨公式，也常写成fbfyIf(x)ebc=F(x)-(详见⑴)(1)Jaa例3利用牛顿一莱布尼茨公式计算么;.3I1解巾公式(1)f2^=—=-xl3--xO3=-Jo3

10、0333说明：题中函数>，=又2的原函数为，Jx2rfx=

11、x3+C.牛顿一莱布尼茨公式解题法，首先要求用不定积分求出函数/的原函数，然后利用公式即可算出。这种方法不仅为定积分计算提供了一个

12、有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。2.2.4运用换元积分法求定积分定理2若函数/在上连续，识在[汉，灼上连续可微，且满足a=(p(a),b=(p{p),a<(p(t)

13、-du)=^cosudu它与上面的第三个定积分相消，故得71n^=fln2-说明：事实上，例4屮的被积函数的原函数虽然存在，但是难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式。可是通过用定积分的性质和公式(2),消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值。2.2.5运用分部积分法求定积分定理3若

14、