2016年考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总

《2016年考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、112222339101114第一SR分：中值定理结论总结1、介醐2、零点定理3、罗尔定理4、拉格朗日中值定理••5、柯西中值定理•6、积分中值定理………第二部分：定翻第三部分：构造函数基本方法一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系二、二阶导数与原函数之间关系第四部分：中值定理重点题型分类汇&(包含所有题型)题型一：中值定理中关于0的问题题型二：证明f(n)汉)=0题型三:证明f(n)«)=CO(#0)题型四：结论中含一个中值之，不含a,b,导数的差距为一阶题型五：含两个中值S,q的问题题型六：含a,b及中值$的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题第一部

2、分：中值定理结论总结1、介值定理:设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点取不同的函数f(a)=A及f(b)=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点$使得f(O=C(a<^

3、函数必可以在该闭区间上収最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小伉之间的任何一个伉，必存在一个变虽使得该们等于变最处函数伉。2、零点定理:设函数作)在闭区间［0］上纖且f(a)与f⑹异号，即f(a).Kb)〈O，那么在开E间内至少存在一点U史得f®=o.Ps:注意条件足闭区间连续，端点函数值异号，结论是幵区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理:如果函数f(x)满足：(1)、在闭区间［a,b］上连续；(2)、在开区间(a,b)内可导；(3)、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点V

4、)、在闭区间［a,b］上连续；(2)、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点€(

5、是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间內也成立，即定理变为：若函数f(x)在［a，b］上胃，贝IJ至少存在一点ge(6Z，/?)使得广f(x)dx=/(^)(/?-a)证明：设F(x)=^f(x)clx,xe［a,b］因为/(X)在闭区间上连续，则F(;v)在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即为/⑴)。贝树F(x)由拉格朗H中值定理有：F(b)-F(a)_£7(麟b-ab-a所以苯e(“力)使得⑻也=，力)0-“)。在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗口中值定理來证明H吏其在开区间内成立即可。T•万不N■直接运用

6、，因为课本给的定理是闭区间。第二部分：定理运用1、设/⑻在［0,3］±^,在(0,3)内存在1介导函数且2/(0)==/(2)+/(3).证明:⑴3rie(0,2)使/(n)=/(0)(2)3戸(0,3)使厂戊)=0证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就岀来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上ifii己经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。(1)、令^/(/)冰=7^)，《^［0,2］则巾题意可知/^)在［0,2］上连续，，砂内可导则对F(x)由拉格朗I

7、d中值定理有：3r)e(0,2)使F、(r

8、)=F(2)—F(0)2Pf(t)dt•••/(n)=^—=/(0),ne(0,2)(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东两在第二问中进行运用:第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值