中值定理证明题.doc

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1、中值定理证明题1.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且　　　　当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．2.试问如下推论过程是否正确。对函数在上应用拉格朗日中值定理得：即：因，故当时，，由得：，即解：我们已经知道，不存在，故以上推理过程错误。首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由和区间的端点而定的，具体地说，与有关系，是依赖

2、于的，当时，不一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使成立，而中要求是连续地趋于零。故由推不出3.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：∵，由极限的保号性知，（不妨设），对于，均有，特别地，，使得，∴得；同理，由得（），使得，从而得；又∵在上连续，∴由介值定理知，至少有一点使得；∵在、上连续，在、内可导，且，∴由罗尔中值定理知，至少有一

3、点、，使得，结论成立。4.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且试用柯西中值定理证明：。知识点：柯西中值定理。思路：对、在上连续使用次柯西中值定理便可得结论。证明：∵、及其各阶导数在上连续，在上可导，且在每一点处，，又，∴连续使用次柯西中值定理得，，从而结论成立。