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《中值定理的证明题08.04.01》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、例题精解例1．（05数2—12）已知函数在上连续，在内可导，且，，证明：（I）存在，使；（II）存在两个不同的点，使得.证明：（I）设，因为在连续，且，，即，由连续函数的零点存在定理可知，存在，使得，即.(II)根据（I）的结果，在上用Lagrange中值定理：.上，用Lagrange中值定理可知，存在，使得：.于是，.例2．（99数3—7）设函数在区间上连续，在内可导，且，.试证：（1）存在，使；（2）对于任意实数，必存在，使得.证明：（1）由题设，引入辅助函数，则在上连续，由已知条件及，知，所以由闭区间上连续函数的介值定理，知存在一点，使得，即.（
2、2）需要引入辅助函数，但比（1）中需要更多技巧，由原函数法，将抽需证明的等式中的改写为，有，即.由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得.即，.34至此，可令.由已知条件及（1）中结论，知也是连续函数，且，于是由Rolle定理，知存在一点，使得.例3．设在上连续，在内可导，且.求证：至少存在一点使得，其中为常数且.证明：由被证式，得，即，亦即.令，则由，得则.于是，在区间上用Rolle定理，有.例4．（98数4—6）设在上连续，在内可导，且，试证存在使得.证明：题设待证等式中含有两个参数，则必为连续用两次中值定理所致.由变形为，可引入辅助函数为：，则由L
3、agrange定理，得.再设辅助函数：，则由Lagrange定理，得，.将条件代入后，即有：.例5．（02数3—8）设在上连续，在内可导，且满足，证明至少存在一点使得.解：由题设中欲证等式，知需构造辅助函数.由原函数法，将该等式中的改为34，则原等式成为，可解出.此即.至此，可引入辅助函数，则.由已知，则，其中：.在区间上应用Rolle定理，则知存在一点，使得，即，化简得，即.例6.(03数2—10)设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且.若极限存在,证明:(1)在内;(2)在内存在点使;(3)在内存在与(2)中相异的,使.证明:(1)由题设,存在,
4、因此,已知在上连续,因此,又由于知在内单调增加,所以,即,.(2)引入辅助函数及.则,故满足Cauchy中值定理的条件,则存在点,使得:34.(3)由于,因而,将其代入到(2)的结论中有:.例7.(01数4—6)设在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且，试证明：存在，使.证明：显然，由积分中值定理:.令：，则，且即：点评：此题条件中含积分等式，故应先用积分中值定理化简之再找辅助函数..于是，当令时，有，又.即，在区间上用Rolle定理即可.在用中值定理证明等式时，如条件中含有积分式子，一般要先用积分中值定理将其化简后再找条件.这属常用解题技巧，请考
5、生注意体会.例8.（98数4—6）设在上连续，在内可导，且试证：存在，使得：成立.证明：只要证：.左端是:的求导结果；右端是:的求导结果.由Lagrange中值定理得:即34同理，故.点评:一般所证结论中含两个参数时，应将两个参数置于等式的两侧，然后分别使用中值定理.例9.设在上连续，在内可导，且求证：对于任意给定的非零常数k，存在使得.证明：（1）问题是要证明存在，使考虑到函数求导后可得，于是用Rolle定理肯定能证出来.而要使用Rolle定理，必须要找到和使得（2）再用根的存在定理去找和.由和可得，.于是，由零点存在定理可知:在区间和内都至少存在一
6、个零点.在区间上应用Rolle定理得，即.点评：当所证结果中出现时，辅助函数为，然后利用Rolle定理即可.这是常用的技巧，必须记住！例10.设函数在上连续，在内可导，且试证：至少存在一点使得证明：按上述解题技巧考虑，只证只要证.若令，则只要证，而这只需令在上用Rolle定理即可.点评：此题的难处在于辅助函数的建立.它是以上述几题解法中的技巧为基础的，因此记住一些最基本的类型和技巧是每个考生必须做的工作.例11．（07SHU3，4—10）设函数，在上连续，在34内可导且存在相等的最大值，又，.证明：（I）存在，使得；（II）存在，使得.证明：设，分别在
7、处取得最大值，则由题意（最大值），且.令，显然有，则有以下推理：当时，（不妨设）则，，于是由零点存在定理可知：存在，使得.此时，由于，故在区间及上，对于函数用Rolle定理有：存在和，使得.在区间上再用Rolle定理，存在存在，使得.当时，可令，.在区间和上用Ｒolle定理，存在和，使得，在区间上再用Rolle定理，存在存在，使得.例12．设在上连续,在内可导,且.试证存在,使得.解:设,则由题设满足拉格朗日中值定理,有故代入,并对再用中值定理,得:34所以证毕.例13．设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使解：令则因此，上满足罗尔定理，即，使得于
8、是，。证毕。例14．设函数在内可导,.证明:存在使.证明:由于在上连续,,故由介值定理知存在,
