2016考研数学中值定理之泰勒中值定理

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1、屮值定理这部分的考点主要包含五人定理：费马引理、罗尔小值定理、拉格朗日屮值定理、柯西屮值定理和泰勒屮值定理，它们在考研屮主要是以证明题的形式考杏人家。今天我们主要讨论泰勒中值定理，泰勒中值定理在高等数学中的应用是非常多的。它的应用不仅仅局限在证明题屮，它还可以用到极限的计算中、鬲级数的展开和求和等，对于2016年的考牛而言，现在还处于复习的基础阶段，这个阶段不需要掌握泰勒屮值定理的全部应用，只需要掌握它的基本内容即可。泰勒中值定理的内容是复杂的，为了帮助大家很好的理解，卜-面我们來推导一卜•泰勒屮值定理。高等数

2、学硏究的一个重要方向就是用简单的函数去代替复杂的函数,这里大家不要认为函数的形式简单了这个函数就简单，比如基本初等函数中的y=exzy=lnx等，它们是看似简单，实际上是比较复杂的函数，比如对于y=ex,我们知道y（0）=l5v（l）=.,但是具体来说。是一个无限不循坏小数，具体等于多少我们是不知道的。这里说的简单函数是只包含加法和乘法运算的函数，最典型的是多项式函数£（兀）=他+d』+L+°小才1,现在的基本想法是用多项式函数去代替其他的函数，此时有两个间题是需要我们关注：1、什么时候可以替换？2、替换后的误

3、差是多少？下面我们从这两个问题来讨论。1、什么时候可以替换？假设函数y=/（x）是”险匹导函数，在点十附近用多项式PnA）代替函数y=/（x）,假设多项式为2（x）=do+di（x-^）+L+%（乂-勺严+勺（X-忑）"・现在要用2（刃去替换v=/（x）,那么就需要保证在处二者尽可能接近,故有2（忑）=々=/（忑），为了确保在x=^处二者尽可能接近，则就需要确保在任意阶导数在乂=氐处函数值相等，故理（x）=2n2+6a3（x-x0）+L+n（n-l）^（x-x0）:P*（勺）=2色=/"（兀）;M巳何（兀）=”

4、!a“=/◎（%）;此时得到多项式的系数为：弘=匚⑥・n则称^（x）=/（^）+/UXx-^）+L+理％_就为函数J=/（x）在nx=^处的泰勒展开。2、替换后的误差是多少？通过上面的分析知此时2（对与/（对是无限接近的，但是二者之间还是存在误差的，我们把误差祢为余顶&（X），故/（X）=2（X）+&（%）・下面给岀泰勒中值定理：【定理1】若几X）在兀二勺及其附近有直到”1阶导数，则f（x）=/（兀）+八兀）（x-吃）+L+了）（X-x^）n+心（X）n其中&（刃=「¥）（乂—兀严,§介于兀与勺之间，称

5、为拉搭朗且余顶的泰勒（rz+1）!公式。当上述定理的条件变弱时，我们可以得到下面的公式:【定理2】若/（对在乂=吃及其附近有直到垃阶导数函数，则/（X）=g+r（^）（x-兀）+l+（x-^r+&（兀）其中称为皮亚若余顶的泰勒公式。这两个公式的主要区别兢丈叙贞&（X）,故它们的使用范围也是不同的:拉格朗日余•顶形丈复杂但很精确，主要用于证明题中；皮亚诺余顶形贰简单，主要用于计算极限。对泰勒公式，考试主要考查大家的是下面的麦可劳林公式：麦克劳林公式=若勺=0,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式/(x)=/(0)+/(

6、0)x+L+严(0)n疋+&（功,其中&（力=广7?汐,F在X与0之间.(n+1)!关于麦可劳林公式，大家记住五个常用的公式即可:rM-亍…侖八心。之间・心十討*】）為+（廿船x^3s§在乂与0之间.浒1COSE(2刃+2)!cosx=l-—+(-1)用仝二+(-1)2!(2对！g—+咛*，心込士X”(川+1)!诚心*手+…+（-1）哼+再矛聽与0之间.对于基础阶段而言，大家掌握上面的基本内容就可以了，具体每个定理是怎么用的，是卜个阶段人家要攻克的问题。