微分中值定理与泰勒公式

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1、一.设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.证明:由条件知00,F(1)<0,所以存在xÎ(0,1),使F(x)=0.假设存在x1,x2Î(0,1),不妨假设x2

2、1满足.由罗尔定理,存在x,满足00)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个x,使  .证明:令F(t)=f(t),G(t)=ln(1+t),在[0,x]上使用柯西定理     , xÎ(0,x)所以 ,即五.设f(x)在[a,b]上可导,

3、且ab>0,试证:存在一个xÎ(a,b),使         证明:不妨假设a>0,b>0.令.在[a,b]上使用拉格朗日定理     六.设函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个xÎ(a,b),使           证明:令,则F(a)=F(b)=0,所以存在一个xÎ(a,b),使           七.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个xÎ(0,1),使            证明:(,二边积分可得,所以)令.由f(0)=f(1)=0知存在hÎ(0,1),.所以F(h

4、)=F(1)=0,所以存在xÎ(h,1),.立即可得八.设f(x)在[x1,x2]上二阶可导,且00,证明:存在一个xÎ(x1,x2)或(x2,x1),使            证明:不妨假设0

5、内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)¹0,试证:至少存在一个xÎ(a,b),使     证明:令,所以F(a)=F(b)=0.由罗尔定理至少存在一个xÎ(a,b),使       ,于是   .十一.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶连续导数,试证:至少存在一个xÎ(a,b),使            证明:"x,tÎ[a,b],有取t=,分别取x=b,x=a,得到二式相加,得所以存在xÎ(a,b),使得     十二.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在x、hÎ(a,b),使得          

6、    证明:对于在[a,b]上使用拉格朗日定理,在(a,b)内存在h,使得         所以在(a,b)内存在x,使得   即是