聚焦中考中的勾股定理.doc

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1、聚焦中考中的勾股定理庄亿农勾股定理是中学数学中一个极为重要的定理，也是中考必考的知识点，各地试卷中都有所涉及。例1.（2006年·南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），，求DE的长。图1分析：由折叠可知，EF=AF，从而将条件都转化到Rt△DEF中，运用勾股定理求解。解：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，。根据轴对称的性质，得，所以。在Rt△DEF中，由勾股定理得点评：纸片的折叠是一项探究与娱乐两者兼备的活动，由于取材方便，操作易行，很受中考命题者的青睐。例2.（2006年

2、·广东）如图2，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径。若一只小虫从A点出发，一直沿侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____________________。（结果保留根式）图2分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。连接AC，则AC即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。图3解：由题意知，由勾股定理，得故小虫爬行的最短路线长为。点评：解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化。方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求。例3.如图4，四边形A

3、BCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为一边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为一边作第三个正方形AEGH……（1）记正方形ABCD的边长为，依上述方法所作的正方形的边长依次为，…，，求出的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。图4分析：由于四边形ACEF及依次作出的四边形均为正方形，且边长均为上一个正方形的对角线长，所以通过勾股定理可以依次求出边长。解：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以。所以在Rt△ABC中，根据勾股定理同理可得AE=2，即。（2）根据以上规律，第n个正方形的边长（n是正整数）。点评：此类探索规律题能较好地考

4、查同学们的创新精神和探索能力，是近年中考的热点题型之一。例4.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c。若∠C=90°，如图5①，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图5②和图5③，请你类比勾股定理，猜想与的关系，并说明你的结论。图5分析：在图5②和图5③中可过A作AD⊥BC于D，利用勾股定理确定，并探索出与的关系。解：若△ABC是锐角三角形，则有若是钝角三角形，∠C为钝角，则有理由：当△ABC是锐角三角形时：如图5②，过点A作AD⊥BC，垂足为D。设CD为x，则有根据勾股定理，得即所以因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以当△ABC是钝角三角形时：如图5③，过B作B

5、D⊥AC，交AC的延长线于D。设CD为x，则有。根据勾股定理，得即因为b>0，x>0，所以2bx>0，所以。点评：此题通过构造直角三角形，设未知数列方程求解，体现了几何知识代数化的解题思路，展示了数形结合的思想。例5.（2006年·泉州市）如图6，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，∠ABO=60°。（1）求AO与BO的长。（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行。图6①如图7，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米。图7②如图8，当A点下滑到点，B点向右滑行到点时，梯子AB的中点P也随之运动

6、到点。若，试求的长。图8分析：（1）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BO的长，然后用勾股定理可求出AO的长。（2）在①的条件中，我们知道了AC与BD的比例关系，要求AC长，可通过比例关系间接求AC，然后根据下滑的梯子与墙壁仍然构成了直角三角形，把三边关系用勾股定理结合起来可求解。在②中，OP和都是直角三角形斜边上的中线，可马上想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再从斜边与中线构成的等腰三角形中寻找角度关系求解。解：（1）中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，所以∠OAB=30°又AB=4m，所以根据勾股定理，（2）①设AC=2xm，BD=3xm，在

7、Rt△COD中，根据勾股定理，所以所以因为，所以所以所以m即梯子顶端A沿NO下滑了（3）点P和分别是的斜边AB与的斜边的中点，因为PA=PO，所以所以因为∠PAO=30°，所以所以所以点评：类似这样的问题考了很多年，按理说已属传统题了，然而本题稍加改动，仍给人耳目一新的感觉。