勾股定理在中考中的几种新题型doc

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1、勾股定理在中考中的几种新题型一、逆向思考型例1如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF图1解：在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得同理计算发现，即，根据勾股定理的逆定理得到AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选（B）。二、探索规律型例2如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三

2、个正方形AEGH，如此下去…。（1）记正方形ABCD的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。图2解：（1）因为四边形ABCD为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理同理AE=2，因为（2）根据以上规律，第n个正方形的边长（n是自然数）三、展面助解型例3如图所示1为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示。已知展开图中每个正方形的边长为1。（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠的大小关系？1解：（1

3、）在平面展开图中可画出最长的线为。如图3－2中的，在Rt△中因为由勾股定理得：答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）2（2）因为立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，所以∠BAC=45°。在平面展开图3－3中，连接线段（如图3－4），由勾股定理可得：由勾股定理的逆定理可得△为直角三角形又因为所以△为等腰直角三角形所以∠所以∠BAC与∠相等四、观图解答型在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。图4解：代表面积为的正方形的边长的平方

4、，代表面积为的正方形的边长的平方，又代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故=斜放置的正方形1的面积；同理=斜放置的正方形3的面积；所以。五、折叠构造型例5（2004年江苏省无锡市）如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。图5解：由折叠知，EM=EA，设CD=2a所以在Rt△EDM中，所以解得所以所以。六、剪拼操作型例6（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会会标如图6甲。它是由四个相同的直

5、角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图6乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形。（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）图6解：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为。由题意得①由勾股定理，得②①2－②得所以③即所求的中间小正方形的面积为1（2）所拼成的正方形的面积为，所以可按照图甲制作。由③得由①、③组成方程组解得结合题意，每个直角三角形的较长的直角

6、边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为，恰好等于中间的小正方形面积。于是，得到以下分割拼合方法：图7七、阅读理解型例7阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”。关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”。以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数的两组方法：方法1：若

7、m为奇数（），则a=m，b是勾股数。方法2：若任取两个正整数，m和n（m>n），则，是勾股数。（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形。（2）请根据方法1和方法2按规律填定下列表格：（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树___________棵。图8解：（1）选方法1：因为所以所以故根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c

8、为边长的△ABC是直角三角形。（2）根据方法1可填：勾7、股24、弦25和勾9、股40、弦41。根据方法2，