中考中的“勾股定理”问题.doc

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1、中考中的“勾股定理”问题“勾股定理”是初中数学的重要知识，是中考命题重点考察的部分．一般在综合问题中“勾股定理”作为其中的一个环节出现，但也有侧重考察“勾股定理”的题目．现列举如下．一、运用勾股定理进行计算这类问题主要是填空题和选择题，一般是计算直角三角形的边长，或与其它知识相结合组成较低难度的题目．B’BA’AO图1例1如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到墙根O的距离为7米．现将梯子的底端A向外移到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离为3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’：①等于1米②大于1米③小于1米分析

2、：在图中有两个直角三角形，Rt△OAB与Rt△OA’B’，其中OA=2米，OB=7米，OA’=3米，这样可以计算出AB2=22+72=53，显然，A’B’=AB，所以，A’B’2=53，于是，OB’2=A’B’2-OA’2=53-32=44，所以，OB’=2，因此，BB’=OB-OB’=7-2<7-2=7-6=1.故，选③图2CDBASP例2如图2所示，圆柱体的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿圆柱体的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（）(A)2(B)2(C)4(D)2分析：这是一个典型的“化曲为直”的问题，当我们把圆柱体的侧面展开后得

3、到一个长为4л、宽为4的长方形(如图3)，其中AS便是A到S的追短距离．AB=2л，BS=2，所以，AS==2二、运用勾股定理的逆定理判断直角勾股定理的逆定理是判断直角的有力工具，尤其是给出线段长度求角时，往往运用勾股定理的逆定理．ABCDPOQEFM图4例3若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是度．分析：从题目条件可以看出，在△ABD中AB=5cm，BD=3cm，AD=4cm.显然，AB2=BD2+AD2．所以，∠ADB=90º.三、与直角三角形的其他性质相结合计算线段的长度有些问题涉及到直角三角形的其他

4、性质，这是较容易的综合性题目．只要我们认真分析题目条件便可找到解题的途径．例4如图4所示，∠POQ=90º，边长为2的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30º，分别求点A、D到OP的距离．分析：作AE⊥OP于E，DF⊥OP于F，DM⊥OQ于M.我们只须求AE、DF，△BOC≌△AEB≌△CMB，在Rt△BOC中，∠OBC=30º，所以，OC=BC=1，于是，OB===.AE=CM=OB=，DF=MO=MC+CO=+1.四、解与面积有关的问题ABCD图5ⅢⅡⅠ有好多勾股定理的证法是借助面积证明的，因此中考题目中也不乏用勾股定理来解的面积问

5、题，尤其是题目中出现正方形和直角三角形时，我们要联想到勾股定理．例5如图5所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中大正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是cm2.分析：每个正方形的面积都等于某一条直角三角形的边长的平方．由勾股定理可知，A、B的面积和的等于Ⅰ的面积，C、D的面积和等于Ⅱ的面积，而Ⅰ、Ⅱ的面积和等于Ⅲ的面积．所以，A、B、C、D四个正方形的面积的和等于49cm2.