浅谈数学解题中的整体意识

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1、精编资料分析:这里利用等差数列的性质考虑颠倒相加，求出的值，再代入公式，即可求出项数n・如果分别求出运算量会很大，用时较多且没有必要.本题只须将看成整体便很简洁,并且…骑大象的蚂蚁整理编辑数学解题中的整体意识整体意识是一•种全面地、总体地考虑问题的思维习惯或白觉意识，它注重问题的整体结构和结构的改造，能从整体上把握思维的方向和进程。解题小应用梏体意识考虑问题,能增加思维的有效性，巧避非必求成分，达到另辟蹊径的效果，有助于培养思维的灵活性和创造性。卜•面就谈谈应川整体意识解题的儿种方法。一.整体代入例1.在等差数列中，如果S”严

2、S“（"7”），求S,”+”的值。分析：设等差数列中，如果首项为⑷，公差为d,c/丄、丄（加+〃）（加+"一1）jm+n加+"）4+d=—^—[2at+（m+n-）d]（*）表达式屮共有四个量m,n,5,d,n属已知量，要想单独求出⑷和d的值既不可能也无必要，只需考虑2q+（〃+n_l）d这个整体。匍？。c-K丄加（加j）In（n-）解："5+—-一=nci,+—-—d化简得（m一n）2a}+（加+n-l）d]=0,•/mn/.2a]+（in+n一l）d=0将2d]+(/n+/i-l)d=0代入(*)式得S〃*=()例2

3、.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列冇（）A.13项B.12项C.11项D.1（）项分析：这里利用等差数列的性质考虑颠倒相加，求出（5+心）的值，再代入公式»=兀（坷+勺），即可求出项数口。如果分别求岀gd』运算量会很大，用时较多且没有必要。本题只须将U+5）看成整体便很简洁，并口体现了等差数列性质的运用。解：由题意知4+02+03=34,a”+d”_]+a”_2=146,两式相加且运用性质知34+146a{+an=如+an--a3+则可得a+an-=60>又S”=390

4、如如=30*390”2解得川=13故选A从例1、例2可以看到，在所求表达式屮变量较多乂不能逐一求出时，利用整体代入法考虑，可以抓住解题的关键，避开非必求的量，迅速达到目的。二.整体补形冇些儿何体看似不规则，补形后即成规则的儿何整体。例3・已知高为力的圆柱被一个不平行于底而的平面所截，其剩余部分最高为h、（片

5、积为加讪、+他），显然补出部分与原剩余部分体积相等,所以剩余部分体积为丄岔2（人+他）。2A例4.四面体OABC屮，OA,OB,OC两两垂直，且04=03=4,OC=2,求西面体的外接球半径。分析：四面体外接球问题较复杂。直接入手很难，若用整体思想考虑，可看出四面体是长度为4,4,2的长方体的一部分，而长方体的外接球即为原四面体的外接球，长方体对角线为/=V42+42+22=6・・・外接球半径R=-=32此题是用整体补形法处理问题的典型例子，通过补形巧妙地转化了问题。三•整体固定例5.若cosA+sinB=1,求sinA+co

6、sB的取值范围。分析：sinA+cos5中有两个变量，若用条件代换掉一个则乂引入了根号，变得更加复杂。现将sinA+cosB整体地设为t，严A+cosB=r平方相加[cosA+sinB=1?.t~—1厂+1=2+2sin(A+3),・・sin(A+B)=—-—2.-1-!-x2+1=3x平方

7、得x4+2x2+1=9x2即：x4+l=lx2x8+1=47x4(2)比较(1),(2)Ax4=47x4,由于xhO・*.A=47・•・x4+-^=47*四.整体处理3的取值范围。例7.已知l

8、-；lgy看作整体，同样也看作整体，用lgx-lgy和2lg兀-占lgy表示31gx--

9、lgy来处理。设3lgx——lgy=加(lgx—lgy)+n(2lgx——lgy)=(m+2n)lgx-(m+—n)lgy322m+2n=3解得<11解得：m=—,n=一m+—n=—99