浅谈整体思想在高中数学解题中的应用

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1、浅谈整体思想在高中数学解题中的应用武威铁路中学王士斌（733009）中学数学中用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想是对数学知识与数学方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。正确灵活应用数学思想，不仅能达到化繁为简、化难为易的解题效果，而且可以提高解题的大局观与总体思考能力。而整体思想是高中阶段较为重要的数学思想，在近几年的高考试题中都有明显体现。但在当前数学学习中的机械化、就题论题、新旧知识之间缺乏联系与比较，使学生的知识处于零碎状态，“只见树木，不见森林”的教学，使

2、学生整体思维的发展受到了束缚，又严重影响了数学的学习。现结合教学实践，通过一些具体实例，谈一谈整体思想在高中数学中的应用，以和大家分享数学的和谐美与整体美。1、整体代入，绝处逢生所谓整体代入，就是将若干式子的组合看作一个整体，直接或变形后代入另一个式子，以减少或避免求单个变量而造成的繁琐运算。例1、长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A、2B、C、5D、6解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,此时，若是考虑分别求出a、b、c,再求对角线的长就会缺少条件

3、。若是注意用“整体代入”法，就能直接快速地求得对角线的长d。由题设，得6　　　由②得a＋b＋c＝6，将它们整体代入对角线长公式，得：d====5∴应选C.　例2、已知数列{an}为等比数列，且an﹥0，aa+2aa+aa＝25，那么a+a＝＿＿.解析：要求a+a的值，通常是要先求出数列的首项a和公比q，而题目的条件只给出了aa+2aa+aa=25，这是关于a和q的一个不定方程，无法解出确定的a和q，但若把a和q的代数式看成一个整体，此题便可迎刃而解。解:设等比数列{an}的公比为q，则由aa+2a

4、a+aa＝25，得〔a（q+q）〕＝２５，　∵an﹥0，　∴a（q+q）＝５，∴a+a＝aq＋aq＝a（q+q）＝５．即a+a＝5.　　　　　∴应填5.2、整体换元，柳暗花明整体换元就是通过研究新元性质来解决问题。运用整体换元，可以把一个庞杂的式子转化为一个条件清晰简单易解的新式子。例3、计算（a+a+…+a）（a+a+…+a+a）﹣（a+a+…+a）（a+a+…+a+a）.解析：此题如果按多项式乘法逐一展开，则非常艰难。如果用整体思想，求大同存小异，整体换元，则运算非常简洁。设a+a+…+a＝x

5、,则原式＝（a+x）（x+a）﹣x（a+x+a6）＝x+ax+ax+aa-ax-x-ax＝aa3、整体变形，水到渠成例4、tan20+tan40+tan20tan40的值是＿＿.解析：由60＝40+20　得　tan60＝tan（40+20）　　　　＝＝　∴tan20+tan40＝（1-tan20tan40）　　即tan20+tan40+tan20tan40＝∴应填．　　例５、已知数列{an}的通项an=(2n-1)x(x≠1)，求此数列前n项和Sn解析：前n项和Sn=x+3x+5x+…+(2n-1

6、)x。因x、3x、5x、…(2n-1)x既非等差数列又非等比数列，故无公式可直接应用。现将Sn=x+3x+5x+…+(2n-1)x两边同乘以x，整体变形为xSn＝x+3x+5x+…+(2n-3)x+(2n-1)x后，两式相减即可求出Sn（详解略）.4、整体构造，峰回路转整体构造，就是根据已知条件和所求，整体构造相应的式子，通过对两个式子的联合研究来解决问题。有些问题直接去求，无从下手，但通过整体构造后，就能迅速得出答案。例6、求值sin100sin300sin500sin700.解：设A=sin1

7、00sin300sin500sin700B=cos100cos300cos500cos7006则AB=sin200sin600sin1000sin1400=cos700cos300cos100cos500=B∵B≠0∴A=　　例7、证明：对和为1的正数a,a，……，a，不等式　　　++…++≥　　证明：设A=++…++　　B=++…+　　　　则A-B=++…+　　　　　　=(a-a)+(-)+…+(-)+(-)=0　　　又≥（a+a）(i,j=1,2,…,n)　　即可得A=(A+B)=(++…+)

8、　　　≥…+(］＝　　5、整体补形，迎刃而解整体补形，就是将问题中的非规则图形或非特殊图形经过添加辅助线后，转化成一个完整的特殊图形，使问题中的隐含条件显露出来，从而易于问题的解决。　　例8、球面上四点P、A、B、C，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求球的半径是多少？6　　解析：以PA、PB、PC为棱补成一个正方体，则这个正方体就是球的内接正方体．　　∴　正方体的对角线是球的直径．设球的半径为R，则2R＝a　　∴　R＝a．例9、如图(1)，在三棱锥P-ABC中，三