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《三角形的中线及中位线性质的运用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形屮有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形屮，斜边上的屮线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1如图1，已知，巾，丄于£，召D丄于D，求证：ME=MD.分析要证明首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的屮线性质证明.证明延长ZW与C£交于M因为C£丄于£，丄AZ)于所以CE//好D,即ZNCM=ZDBM,5L乙CMN=^BMD，BM=CM，所以ACMA嗟ABM/)，所以NM=D/W，即M为ND中点.b因为C£丄AD于£,所以ATV
2、ED为直角三角形，1图1所以—AT),所以M£=A/£>.2例2如阁2,BD、是高，G、F分别是BC、£>£的中点，求证：FG1DE.分析有三角形高就会想到直角三角形,有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG、EG，可得DG、EG分別是RtABDC和RtABEC的中线，可知AGD£S等腰三角形，进而由F是AE的中点，即FG丄£>£.证明因为B£>、是高，所以ZBDC=ZB£C=90°,即ABDC和么BEC都是直角三角形.又因为G是的中点，所以丄打C,即△(?£>£是等腰三角形.2因为F是£>£的屮点，所以GF是等腰三角形GDE的底
3、边£>£上的中线，所以rfl等腰三角形的“三线合一”，得GF也是底边/）£上的高线，所以FG上DE.例3如图3所示，点£、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交干点M，CE的延长线交的延长线于G,试探索：（1）DF与CE的位罝关系；（2）M4与DG的大小关系.分析（1）要探索与C£的位置关系，由图可以猜想到丄C£,而巾条件可以证明AEBC^AFCD,则有Z£C5=Z/79C，即可证明DF1CE.（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA=-DG,而事实上，由（1）可知ADMC；是直角三角形，再由条件可得2AGAE^ACBE,即得CM=CB，于是利用直角三
4、角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）丄C£.理由：因力点£、F分別为正方形ABCD边AB、BC的屮点，所以此=丄AB，CF=LbC，而A公=^C=a），即B£=CF，22所以△,所以ZECB=ZFDC，而ZZ）FC+ZH）C=90°,所以ZDFC+ZFCM=90%即90°,所以DF丄C£.（2）繼=il）G.理由：因为F是AZ?的屮点，所以AE=BE，25L乙GAE=^B，ZAEG=ZBEC,所以所以CM=CZ?.而由（1）可知是直角三角形，所以MA=1/X7.2例4己知：如图4,UABCD中，对角线AC、BZ）相交于点O，丄AC,O是垂足，£厂分别交AB、CD于点
5、E、F，且求证：OABCZ）是矩形.2A图4B分析要证OABCZ）是矩形，只要证或=即可.由可2作出RtAAOE斜边上的屮线0（7，这样可证得△AOG2ABOE，于是证得04=证明取的中点G,连结0G,所以RtZ^AOE中，0G=1a£=AG,2因为5£=0£=丄4£,所以0£=0G，AG=BEf即Z0G£=Z0£G，2所以ZAGO=ZO£B,所以AAGO空△/?£□，所以04=6^，又四边形ABCD是平行四边形，所以；4C=2a4,BD=20B，即＞4C=BD，所以是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上屮线的性质解题时，应依裾条件，贯例阁形，通过分析，把问题转化为证
6、明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下而一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCZ）中，AB//CD,ZC+ZD=90°,E,F为AB、CZ）的中点.求证：CD~AB=2EF.图6提示：作EM//AZ）交CD于M，E7V//BC交CZ）于7V.利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有•一个特点，在同一个题设下有两个结论：
7、一个结论是表明两条线段的位罝关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1在AABC中，BD平分ZABC,AD丄BD，垂足为D,AE=EC.求证:DE//BC.证明：延长AD交BC于点F.因为BD平分ZABC，所以ZABD=ZCBD.因为AD丄BD,所以ZBDA^ZBDb%'又BD=BD,所以△BDAPABDF（ASA）.所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE//EC,即DE//BC（三
