中位线与中线

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1、环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：八年级课时数：3学员姓名：辅导科目：初中数学学科教师：课题中位线与中线的专题授课日期及时段2014年8月14日15：00——17：00教学目的1．掌握中位线与中线的性质，同时能够将二者很好的鉴别开来。2．能够在做题中联想到中位线及中线，并能灵活运用。教学内容苏步青（大陆数学家）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”。12【知识点回顾】一、中位线(一)三角形中位线1.定义:三角形中位连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半如图，△

2、ABC中，DE是中位线，则有DE∥BC，。12(1)证明1：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.　　∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC　　∴△ADE≌△CFE　∴AD=FC、∠A=∠ECF　　∴AB∥FC　　又AD=DB∴BD∥=CF　　所以，四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC121212(2)证明2：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF、DC、AF　　∵AE=CEDE=EF　　∴四边形ADCF为平行四边形　　∴AD∥=CF　　∵AD=BD　　∴BD∥=CF　　∴四边形BCFD为平行四边形　　∴BC∥=DF　　∴DE∥

3、BC且DE=1/2BC12EBDACF(二)梯形中位线：1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.2.定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。（三）中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是———平行四边形；2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是——菱形；123）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是———矩形；4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。2）当原四边形的

4、对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。ABCD二、中线1.定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。2.表示法：(1)AD是△ABC的BC上的中线.(2)BD=DC=BC注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形。3.直角三角形斜边上中线的性质(1)性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=90，D为BC的中点，则。12(2)性质的拓展：如图1：∵D为BC中点，∴，∴AD=B

5、D=DC=，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ADB=2∠3=2∠4，∠ADC=2∠1=2∠2。因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．12（3）证明：方法一、构造矩形完成证明：12如图，延长CD到点E，使DE=CD，连接AE和BE。由于AD=BD，所以四边形ACBE是平行四边形，又因为∠ACB=90°，所以ACBE是矩形。所以CE=AB，由于，所以。12方法二、构造三角形的中位线完成证明：12延长BC到点E使CE=

6、BC，连接AE。∵点D是AB的中点，点C是BE的中点，∴CD是△BAE的中位线，∴.在△ACE与△ACB中，∵AC=AC，CE=BC，∠ACB=∠ACE=90°，∴△ACE≌△ACB（SAS）。∴AE=AB，∴。12【例题讲解】1.如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE=BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.分析：从要证明的结论可以看到MN与BC的关系很像三角形的中位线与三角形的第三边之间的关系。因此，应考虑证明点M、N分别是EB和EC的中点。证明：如图，连接EF，在ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∵AE=BF，∴

7、DE=CF∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形。∴点M、N分别是EB和EC的中点。12∴MN是△EBC的中位线。∴MN∥BC.评析：本题借助平行四边形的性质，通过证明三角形的中位线，然后利用中位线定理证明结论。2.如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，Q是MN的中点，（1）求证：PQ⊥MN；（2）判定△OEF的形状.分析：本题出现的线段中点比较多，考虑运用三角形的中位线定理解决问题。证明：（1）如图，连接PM和PN，∵M、P分别是边AB、BC的中点，∴PM是△BAC的中位线。∴PM∥AC

8、，。同理，