三角形中线和中位线小综合1

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1、三角形中线和中位线小综合12011-2012学年度第二学期期末27（7分）如图在ΔABC中，D为AB中点，分别延长CA,CB到E，F使DE=DF，过E,F分别作CA，CB的垂线，相较于点P，求证：∠PAE=∠PBF2010-2011年西城区第二学期期末试卷如图所示在ΔABC中，以AB，AC为斜边的等腰直角三角形MAB，NAC，P是ＢＣ的中点，证明ＭＰ＝ＮＰ2012年朝阳二模24.如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：△DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，C

2、P⊥EF于点P.求证：DP＝DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24.证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.∴NG=NC，DG=CM.…………………2分∵∠1+∠2=180º，∴∠NGD+∠2=240º

3、.∵∠2+∠3=240º，∴∠NGD=∠3.∴△NGD≌△NCM.……………………3分∴ND=NM，∠GND=∠CNM.∴∠DNM=∠GNC=60º.∴△DMN是等边三角形.…………………………………………………4分（2）连接QN、PM.∴QN=CE=PM.…………………………………………………………5分Rt△CPE中，PM=EM，∴∠4=∠5.∵MN∥EF，∴∠5=∠6，∠7=∠8.∵NQ∥CE，∴∠7=∠4.∴∠6=∠8.∴∠QND=∠PMD.………………………6分∴△QND≌△PMD.∴DQ=DP.………………………………………………

4、…………………7分2012年丰台二模24．在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图224．解：（1）DE=DF．……1分（2）DE=DF不发生改变．……2分理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN．∵D为BC的中点，∴．……3分∵∴．∴．∴．…4分同理．∴四边形MDNP为平

5、行四边形．……5分∴．∵∴．∴．……6分∴△EMD≌△DNF．∴DE=DF．……7分丰台12中25.已知ΔABC和ΔADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连结EC，取EC的中点M，连结BM和DN。（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DN的数量关系与位置关系是--------（2）将图1中的ΔADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否依然成立，并说明理由。