第十五讲 中位线 中线

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1、第十五讲中点、中线和中位线【一】、知识储备：1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段；2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分；3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心；4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍；5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分；6.解决三角形中线问题常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形或平行四边形；7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半；8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角

2、三角形；10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合；11、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．12、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系．13、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线．14、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰

3、中点而平行于两底的直线，必平分另一腰【二】、例题解析：例题1、已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点．求证：PM＝PN　MANBPC例题2．已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点．求MN的长．　例题3．已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）DCMNAB例题4、如图所示．△ABC中，AD⊥BC于D，点E，F，G分别是AB，BD，AC的中点，若EG=1.5EF，AD+EF=12厘米，求△ABC的面积．　　例题5、如图

4、所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB。求证：DE⊥AE。CDE　BA例题6、已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．例题7、如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点求证：EF>12(CD-AB)BAMNDC【三】、自主练习：1、已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形　②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形④当AC和BD＿＿

5、＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形．2、已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，D,F，G所成的四边形是等腰梯形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3、如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC，求证BC＝DM＋EN4、如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC＝2CE．5、如图　已知：四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF，求证：∠DMN＝∠

6、CNM．6、如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7、已知，如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。求证：EF=DG且EF∥DG。8、如图，在锐角三角形ABC中，AB＜AC，AD⊥BC，交BC与点D，E、F、G分别是BC、CA、AB的中点。求证：∠DGF=∠EFG