第14讲 中位线及其应用.doc

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1、第3讲中位线及其应用　　中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．　　例1如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．　　分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．　　解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以　　由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，　　从而AD=8(厘米)，　　由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△AB

2、C的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，　　显然，AD是BC上的高，所以　　例2如图2-54所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．　　(1)求证：GH∥BC；　　(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．　　分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．　　(1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，B

3、G平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．　　从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，　　从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．　　(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．　　又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．　　从而MN=18-4-9=5(厘米)，　　　　说明(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)

4、性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．　　(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．　　(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．　　　例3如图2-57所示．P是矩形ABCD内

5、的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．　　分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．　　证连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，　　所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于

6、ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．　　从而AB⊥PQ，　　所以A′B′⊥B′C′，　　所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以　　A′C′=B′D′．①　　说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．　　例4如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：　　分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，

7、取AD中点．　　证取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以　　同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以　　在△EFG中，EF＞EG-FG．③　　由①，②，③　　例5如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．　　分析本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．