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时间:2018-04-06
《全国初中数学竞赛辅导(初2)第14讲中位线及其应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十四讲中位线及其应用 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用. 例1如图2-53所示.△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积. 分析由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长. 解由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以 由条件AD+EF=12(厘米)得
2、EF=4(厘米), 从而AD=8(厘米), 由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以BC=2EG=2×6=12(厘米), 显然,AD是BC上的高,所以 例2如图2-54所示.△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H. (1)求证:GH∥BC; (2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH. 分析若延长AG,设延长线交BC于M.由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点;同样,延
3、长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH∥BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度. (1)证分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以△ABG≌△MBG(ASA). 从而,G是AM的中点.同理可证△ACH≌△NCH(ASA), 从而,H是AN的中点.所以GH是△AMN的中位线,从而,HG∥MN,即HG∥BC. (2)解由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以AB=BM=9厘米,AC=C
4、N=14厘米. 又BC=18厘米,所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米),MC=BC-BM=18-9=9(厘米). 从而MN=18-4-9=5(厘米), 说明(1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”. (2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若三角形一个角的平分线也是该角对边
5、的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”.同学们不妨自己证明. (3)从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH∥BC仍然成立.同学们也不妨试证. 例3如图2-57所示.P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点.求证:A′C′=B′D
6、′. 分析由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形.利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点. 证连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线.从而A′B′∥AB,B′C′∥PQ,C′D′∥AB,D′A′∥PQ, 所以,A′B′C′D′是平行四边形.由于ABCD是矩形,PC
7、BQ是平行四边形,所以AB⊥BC,BC∥PQ. 从而AB⊥PQ, 所以A′B′⊥B′C′, 所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以 A′C′=B′D′.① 说明在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用.如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用.因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的. 例4如图2-58所示.在四边形ABCD中,CD>AB,E,F分别是AC,BD的中点.求证: 分析
8、在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点. 证取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以 同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位线,所以 在△EFG中,EF>EG-FG.③ 由①,②,③ 例5如图2-59所示.梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC的中点,AD=DC+AB.求证:DE⊥AE. 分析本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°.
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