第14讲函数模型及其应用

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1、新课标高中一轮总复习第二单元函数第14讲函数模型及其应用了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出，其中m>0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为()CA.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元由题设知,f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1)=1,06×(0.5×6+1)=4.24.故选C.2.在某种

2、新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01BA.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=()x将各组数据代入验证，选B.3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（）AA.10元B.20元C.30元D.元两种话费相差为Δy，根据几何关系可得Δy=Δy′,=12,Δy′=10，

3、所以Δy=10.4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（）CA.2B.4C.5D.6平均利润=≤12-10=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故选C.函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的

4、认识.一般而言，有以下8种函数模型：①一次函数模型:f(x)=+b(k、b为常数,k≠0);②反比例函数模型：f(x)=+b(k、b为常数,k≠0);③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k≠0,a>0且a≠1);⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m≠0,a>0且a≠1);⑥幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠0);⑦“勾”函数模型：f(x)=x+(k为常数,k>

5、0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.题型一函数模型的选择例1扇形的周长为c(c>0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？当r=时，Smax=,此时

6、α

7、====2.所以当圆心角大小为2rad时，扇形面积最大，为.(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0,所以0

8、.所以S=αr2=α·()2==≤=.(1)虽然问“α为多少时”，但若以α为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.题型二已知函数模型求参数值例2如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰

9、减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰好相等,求：(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，解得2e-5m=1m=ln2.所以y1=ae.当y1=时,有=aet=15(分钟).所以经过15分钟木桶1的水是.（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系