第14课时 函数模型及其应用(答案)

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1、阆中东风中学高三文科数学第一轮复习讲义第14课时伍贤均考点：函数模型及其应用复习目标：利用函数知识建立相应的数学模型去解决与函数有关的实际应用问题。知识回顾：1解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意：读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型：一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关

2、系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.典型例题分析：题型一：二次函数模型例、某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.例、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（t）与1t产品的价

3、格p（元/t）之间的关系为：p=24200-x2，且生产xt的成本为R（元），其中R=50000+200x.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）例、如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］=-2x

4、2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为{x

5、0＜x≤b}.又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，则当x=时，S有最大值;若＞b,即a＞3b时，S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,57阆中东风中学高三文科数学第一轮复习讲义第14课时伍贤均综上可知，当a≤3b，x=时，四边形面积Smax=,当a＞3b，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.题型二：指数、对数函数模型例、1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将

6、决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392解（1）设每年人口平均

7、增长率为x，n年前的人口数为y，则y·（1+x）n=60，则当n=40时，y=30，即30（1+x）40=60，∴（1+x）40=2，5分两边取对数，则40lg（1+x）=lg2，则lg（1+x）==0.007525，∴1+x≈1.017，得x=1.7%.10分（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10，得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.例、某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1

8、万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用二次函数f(x)或函数g(x)=abx+c(其中a、b、c为常数）.已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说明理由.解设f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则有解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.∴f（4）=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.又解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.∴g（4）=-0.8×0.54

9、+1.4=1.35.经比较可知，用g（x）=-0.8×（0.5）x+1.4作为模拟函数较好.例、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市