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《初中数学竞赛专题培训(14)：中位线及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初中数学竞赛专题培训第十四讲中位线及其应用屮位线是三角形与梯形屮的一条匝要线段，山于它的性质与线段的屮点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明屮有若广泛的应用.3G分别是AB,BD,ACW中点.若EG=-EF,AD+EF=12厘米，求例1如图2・53所示.ZXABC中，AD丄BC于D,E,F,2ZXABC的面积.分析由条件知，EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出AABC的高AD及底边BC的长.解由已知，E,F分别是AB,BD的中点，所以，EF是AABD的-•条中位线，所以EF=^AD,即AB
2、=2EF.由条件AD+EF=12（厘米）得EF=4（厘米）,从而AD-8（厘米）,33EG=-EF=-X4=6（厘米）•乙乙由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是AABC的一条中位线，所以BC=2EG=2X6=12（®米），显然，AD是BC上的高,所以Sg詁BC・AD=gxi2X8=48（平方厘米）.例2如图2-54所示.AABC中，ZB,ZC的平分线BE,CF相交于0,AG丄BE于G,AH丄CF于H.（1）求证:GH〃BC；(2)若AB=9厘米,AC=14M米，BC=18厘米,求GH.分析若延长AG,设延长线交BC于M.由角平分线的对称性可以证明厶ABG^A
3、MBG,从而G是AM的中点;同样，延长AH交BC于N,II是AN的中点,从而GH就是AAMN的中位线,所以GI1〃BC,进而,利用AABC的三边长可求出GH的长度.⑴证分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中，由已知,BG平分ZABM,BG丄AM,所以AABG^AMBG（ASA）.从而，G是的中点.同理可证AACH^ANCH（ASA）,从而，H是AN的中点.所以GH是AAMN的中位线,从而，HG〃MN,即IIG〃BC.（2）解由⑴知,AABG^AMBG及厶ACH空△NC1I,所以AB二BM二9厘米，AC=CN=14H米.乂BC二18厘米,所以BN=BC-CN=
4、18-14=4（厘米）,MC-BC-BM=18-9=9（JS.米）.从而MN=18-4-9=5（M米），所以GH=^MN=
5、(厘米).说明（1）在木题证明过程屮，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一（即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的屮线，这个三角形是等腰三角形”.⑵“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线乖直于对边”•同学们不妨自己证明.（3）从本题的证明过程中,我们得到启
6、发:若将条件“ZB,ZC的平分线”改为“ZB（或ZC）及ZC（或ZB）的外角平分线”（如图2・55所示）.或改为"ZB,ZC的外角平分线”（如图2・56所示）,其余条件不变,那么,结论GH〃BC仍然成立•同学们也不妨试证.c圉2—55B图2—56例3如图2・57所示.P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A',B‘，C‘，D'分别是AP,PB,BQ,QA的中点・求证:A'C二B‘D'•分析由于“,BJCJV分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道屮BrC，V是平行四边形,NC与B‘D'则是它的对角线,从而四边形A，B
7、‘C，D'应该是矩形.利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点.国2—57△BPQ,AAQB,AAPQ的中位线.从而证连接A'Bz,C‘，C‘y,D‘A'•这四条线段依次是ZAPB,AzB‘〃AB,rrC‘〃PQ,CrDr〃AB,DzA'〃PQ,所以，A'B‘C‘D‘是平行四边形.由丁・ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB丄BC,BC/7PQ.从而AB丄PQ,所以A'B'丄B‘Cf,所以四边形A7D，是矩形，所以&Cf=BrV.①说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用.如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”
8、这个经验，对寻求思路起了不小的作用.因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很冇益处的.例4如图2・58所示.在四边形ABCD中，CD>AB,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EF>
9、(CD-AB).等关系.为了产生扌CD及扌AB的线段.应考除在含CD,AB的三角分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点.证取AD中点G,连接EG,FG,在AACD中，EG是它的中位线（已知E是AC的中点），所以EG=
10、cD.①同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而，FG是AABD的中位线,所以fg=
11、ab
