初中数学竞赛专题培训(11)勾股定理及其应用

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1、鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训　第十一讲勾股定理与应用学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第5页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2　那么这

2、个三角形是直角三角形．　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．　　证法1如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．

3、而　　　所以SAEML=b2．①　　同理可证SBLMD=a2．②　　①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，　　即c2=a2+b2．　　证法2如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，　　所以　　AG=GH=HB=AB=c，　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，　　

4、因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即　　化简得a2+b2=c2．　　　证法3如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面　　

5、S=SABDE+2S△ABC，①　　另一方面　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②　　由①，②　　所以c2=a2+b2．　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第5页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中

6、心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．　　证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，　　AB2=AD2+BD2，①　　在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②　　又BD2=(BC-CD)2，③　　②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2　　　=AC2-CD2+BC2+CD

7、2-2BC·CD　　　=AC2+BC2-2BC·CD，　　即c2=a2+b2-2a·CD．④　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，　　AB2=AD2+BD2，⑤　　在直角三角形ACD中，　　AD2=AC2-CD2，⑥　　又BD2=(BC+CD)2，⑦　　将⑥，⑦代入⑤得　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD　　　=AC2+BC2+2BC·CD，

8、　　即c2=a2+b2+2a·cd．⑧　　综合④，⑧就是我们所需要的结论　　　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．