随机信号通过线性系统

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1、第9章随机信号通过线性系统9.0引言9.1随机信号的概念9.2连续随机信号的统计特征9.3离散随机信号的统计特征9.4线性连续系统分析9.5线性离散系统分析9.6白噪声通过线性系统分析9.0引言由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jω)),求输出的一、二阶统计特征

2、和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分别用h(k)、H(z)、H(ejω)代替。由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my，方差Dy，自相关函数Ryy(τ),功率密度谱Sy（jω），以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ)，互谱密度Sxy（jω）等。9.1随机信号的概念9.1.1随机过程和随机信号的概念在概率论中介

3、绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t=t0时，X(t0)为一个随机变量。设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，乙观察得到的实验输出波形为x2(t)，x1(t)≠x2(t)，如图9.1所示。同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1(t)，x2(t)，…,xN(t)。也就是说，随机信号产生器产

4、生的随机信号X(t)，在同一时刻t(例如t=t0)可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X的取值，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。图9.1-1随机信号X(t)显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号。9.1.2随机信号的分布函数和概率密度定义9.1-1随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t

5、时刻的取值小于x的概率，即定义9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为为了描述随机信号在不同时刻t1,t2,…,tn的内在联系，同理,可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数：9.2连续随机信号的统计特征9.2.1均值均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。定义9.2-1当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：定义9.2-2随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为这种随机信号X(t)称为平稳随机信号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号。显然，对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=

6、f(x)，mx(t)=mx。即平稳随机信号的均值是一个常数。同理，平稳随机信号X(t)的均方值E［X2(t)］也是一个与时间t无关的常数。9.2.2方差定义9.2-3随机信号X(t)的方差定义为对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数：方差又称为二阶中心矩。方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根σx称为标准差。下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。对于平稳随机信号X(t)而言，有即方差等于随机信号平方的均值E［X2(t)］减去随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表

7、示消耗在单位电阻上的瞬时功率（由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。9.2.3自相关函数和自协方差函数1．自相关函数自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的相关程度。定义9.2-4实随机信号X(t)的自相关函数定义为由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=t1+τ,则有f2(x1