随机信号通过线性系统分析

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1、第四章随机信号通过线性系统的分析主要内容：随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法－－－时域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等概念。第四章随机信号通过线性系统的分析重点及其要求：（1）掌握以下五条性质：1.双侧宽或严平稳随机信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信号通过线性

2、系统后的输出仍然是高斯随机信号；4.若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。第四章随机信号通过线性系统的分析（2）学会运用时域中的卷积法和频域分析法，计算平稳随机信号激励下系统输出的二阶统计特性，计算高斯随机信号激励下系统输出端的概率密度。（3）会计算系统的等效噪声带宽。4.1线性系统的基本理论离散和连续时间系统双侧系统和单侧系统（一）时不变线性系统图4.1线性系统示意图

3、4.1线性系统的基本理论若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有则称系统为线性系统。若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一个相同的时移，即则称系统为时不变系统。满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于这一系统。4.1线性系统的基本理论设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷积积分得到（二）连续时不变线性系统如果x(t)和h(t)绝对可积，即那么它们的傅立叶变换存在，即4.1线性系统的基本理论设y(）是输出y(t

4、)的傅立叶变换，则有通常上式中以代替j，可把上式写成拉氏变换的形式，即H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即4.1线性系统的基本理论如果系统的单位冲激响应满足那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位于s平面左半面（不包含虚轴）。4.1线性系统的基本理论离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是（三）离散时不变线性系统如果x(n)和h(n)绝对可和，即那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即

5、4.1线性系统的基本理论设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有若在上式中令，则有H(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即式中l表示包含所有极点的单位圆。4.1线性系统的基本理论如果系统的单位冲激响应满足那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。4.2随机信号通过连续时间系统的分析1.输出的表达式如果现在输入为对

6、应于随机信号X(t)某个实验结果的一个样本函数x(t,)，由于样本函数是确定性的时间函数，则有（一）时域分析方法对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数，这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时可将上式写为积分在均方意义下存在。4.2随机信号通过连续时间系统的分析2.输出的均值已知输入随机信号的均值，求系统输出的均值。3.系统输入和输出之间的互相关函数当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。4.2随机信号通过连续时间系统

7、的分析同理4.系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求给定系统输出端的自相关函数。4.2随机信号通过连续时间系统的分析此外还能给出输出自相关函数与及之间的关系式，即4.2随机信号通过连续时间系统的分析5.系统输出的高阶矩下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式图4.2输出输入二阶矩之间的关系4.2随机信号通过连续时间系统的分析（1）.双侧随机信号在这种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t)具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条重要结论。（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算1

8、.若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。4.2随机信号通过连续时间系统的分析若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出的自相关函数为4.2随机信号通过连续时间系统的分析2.若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。3.若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。证明：由X(t)的宽遍历性定义得同理可证明4.2随机信号通过连续时间系