第三章 随机信号通过线性系统分析

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1、177第三章随机信号通过线性系统的分析第三章随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：l线性系统的基本理论l随机信号通过连续时间系统的分析l随机信号通过离散时间系统的分析l色噪声的产生与白化滤波器l等效噪声带宽l解析过程l窄带随机过程基本概念l窄带高斯过程包络与相位的概率密度l窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。分析方法：卷积积分法；频域法。3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统）输入为随机信号某个实验结果的一个样本函数177第三章随机信号通过线性系统的分析，则输出

2、为：对于所有的，输出为一族样本函数构成随机过程：2.输出的均值：证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数证明：177第三章随机信号通过线性系统的分析4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为177第三章随机信号通过线性系统的分析注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也

3、是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。那么177第三章随机信号通过线性系统的分析由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是的函数，且输出均方值有界。所以，输出随机过程为宽平稳的。可总结如下：输出均值：177第三章随机信号通过线性系统的分析输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。证：对于时移常数有177第三章随机信号通过线性系统的分析输出Y(t+)和输入X(t+)联系的方式与Y(t)和X(t)联系的方式是一样的。由于随机信号X(t)是严平稳的

4、，所以X(t+)与X(t)具有相同的n维概率密度函数。因而Y(t+)与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，即Y(t)是严平稳的。（3）若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。证：由X(t)的宽遍历性的定义得则输出Y(t)的时间平均177第三章随机信号通过线性系统的分析故Y(t)是宽遍历性的。[例3.1]如图4.4所示的低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其均值为，假设X(t)是相关函数为(t)的白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：和。图3.1RC电路解：①该电路的单位冲激响应为其中:输出的均值为

5、②因为输入相关函数为177第三章随机信号通过线性系统的分析则输出自相关函数即：上式要分别按0与＜0求解。当0时（注意h(t)因果）有：由于自相关函数的偶对称性，则当＜0时有合并0和＜0的结果，得到输出自相关函数③在上式中＝0即可得输出的平均功率为注意到b是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽有关。177第三章随机信号通过线性系统的分析于是的输出平均功率又可写为显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。④根据式有同理[例3.2]应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法图3.2测量线性系统单位冲激相应的方法177第三章随机信号通过线性系统的分析输入X(t)是白噪声。Z(t)=X

6、(t-)Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。因此因此在平稳的情况下．所以根据式得即由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。改变，就能测出线性系统的完整单位冲激响应。推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。[例3.3]输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。177第三章随机信号通过线性系统的分析设X(t)的自

7、相关函数为，，这里，为各自的半功率带宽，，求。解：当时，分和两部分积分：因为，所以因为，则，，即＝输入的相关函数为白噪声通过一个线性系统。结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。177第三章随机信号通过线性系统的分析2、单侧随机信号此时，输入随机信号是在t=0时刻作用于系统的，如图3.3所示。图3.3X（t）在t＝0是刻作用于系统此时，输出为：设X(t)是宽平稳的