[理学]线性代数第二章

《[理学]线性代数第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1§2.1矩阵§2.2逆矩阵§2.3初等矩阵§2.7矩阵可逆的充分必要条件第二章矩阵代数2§2.1矩阵2.1.1矩阵的加法与数乘同型矩阵：两个行数和列数均分别相等的矩阵.定义2.1.1矩阵的相等：如果两个矩阵是同型的（只有两个同型的矩阵才能比较是否相等），并且它们对应位置上的元素分别相等.即，如果A=[aij]mn,B=[bij]mn,那么A=B当且仅当aij=bij，i=1,2,…,m,j=1,2,…,n；3定义2.1.2矩阵的和：如果A=[aij]mn,B=[bij]mn,则A与B的和（只有两个同型的矩阵才能相加）为：A+B=[aij+bij]m

2、n定义2.1.3矩阵的数乘：设A=[aij]mn,k是任一数，k与A之间的数乘为kA=[kaij]mn即kA仍是一个与同型的矩阵，其(i,j)位置上的元素为k与A的(i,j)位置上的元素的积.4习惯上，我们记A=(1)A则，如果A=[aij]mn，那么并且，－A=[－aij]mn.当B是另一个mn级矩阵时，记AB=A+(B)并称其为A与B的差.具体地说，如果A=[aij]mn,B=[bij]mn,则A与B的差为：A－B=[aij－bij]mn设A与O同是mn矩阵，k是任意的数，则有kO=O,0A=O5定理2.3.1设A,B,C是同

3、型的任意矩阵，k、l是任意的数，那么以下运算规律成立.1)A+B=B+A（加法交换律）2)(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）3)A+O=A4)A+(A)=O5)1·A=A6)k(lA)=(kl)A7)(k+l)A=kA+lA8)k(A+B)=kA+kB6定义1.2.3矩阵乘积设A=[aik]ms，B=[bkj]sn(注：A的列数必须与B的行数相同),那么A与B的积AB=C=[cij]mn是一个mn级矩阵,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj(2.1.1)i=1,2,…,m；j=1,2,…,n2.1.2矩阵的乘法7注：1

4、)前提：Ａ的列数等于Ｂ的行数2)计算：矩阵乘积C的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和.3)结果：乘积C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.8例2.1.1设矩阵中行分别表示甲、乙、丙、丁四个工厂的生产情况，列分别表示P1,P2,P3三种产品的生产情况,例如a23=2表示乙工厂生产2件P3产品.再设矩阵其中第一列分别表示P1,P2,P3三种产品的单件利润，第二列分别表示三种产品的单件体积,则9乘积矩阵C的第一列数据分别表示四个工厂的利润，第二列分别表示四个工厂产品需要的存储空间.10例2.1.2对于n元线性方程组记计算AX,得到矩阵方程(方程

5、组(2.1.2)的矩阵表示)AX=(2.1.3)11例2.1.3写出下列方程组的矩阵形式.12例2.1.4设因A的列数与B的行数不相等,故A与B不能相乘.但B的列数与A的行数相同,故B与A可相乘,并且13例2.1.5设因A的列数与B的行数相等,并且B的列数与A的行数也相同,故AB与BA均可相乘,并且14例2.1.6设显然AB与BA均可相乘,并且乘积均为二阶方阵：15注：对任意两个矩阵A,B，乘积AB或BA可能没有定义(例2.1.4);即使有定义,也可能不同型(例2.1.5)；即使同型，也可能不相等(例2.1.6).从而，矩阵乘法不满足交换律，即一般地有，A

6、B≠BA16补充例子：1718定义2.1.5设A=[aij]mn,则A的转置B=[bji]nm是一个nm矩阵,并且bji=aiji=1,…,m;j=1,…,n一般地,记A的转置矩阵为AT.定义2.1.6如果n阶方阵A=[aij]nn满足AT=A,则称A为对称矩阵.从而,一个方阵A=[aij]nn对称矩阵当且仅当aij=ajii,j=1,…,n19例2.1.7分别计算下列矩阵的转置.20定理2.1.2设A、B、C是任意矩阵,k为任意的数.如果下述的运算均有定义,那么以下运算规律成立.1)(AB)C=A(BC)(乘法结合律)2)A(B+C)=AB+AC

7、(乘法对加法的左分配律)(A+B)C=AC+BC(乘法对加法的右分配律)3)k(AB)=(kA)B21由于乘法满足结合律，括号可省略，例如：(AB)C=A(BC)=ABC特别地，如A是一个n阶方阵，则可定义的正指数方幂:22则有AB=AC=O.但显然有BC,AO,BO,CO.23矩阵相乘不同于数的乘积的三点：1)无交换律:ABBA.2)无消去律:由AM=AN一般不能推出:M=N.3)由AB=O一般不能推出:A=O,或B=O.242.1.3分块矩阵对一个给定的矩阵，在行间作从左至右若干水平线，在列间作若干从上到下垂直线，从而把矩阵划分成若干级数较小的

8、矩阵（称为的子块），称此分法为对矩阵的一个分块．25