[管理学]线性代数

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1、班级：时间：年月日；星期教学目的掌握特征值与特征向量的概念、求法以及性质。掌握相似矩阵的概念和性质，理解方阵A对角化的充要条件，会用实对称矩阵对角化的基本方法将简单对称矩阵对角化作业重点相似矩阵与对称矩阵对角化练习册第43页－46页第5题至第14题难点同上讲授方法讲授为主，讲练结合讲授内容主线特征值定义与求法－特征值性质－不同值特征向量无关定义－练习－相似矩阵定义与性质－一般矩阵对角化定理－对称矩阵性质－对称矩阵对角化一般方法－练习内容概括特征值复习：20分钟；相似矩阵及性质：20分钟；矩阵对角化方法：15分钟；对称矩阵及性质：20分钟；对称矩阵对角化方法：25分钟第十三讲：特

2、征值应用，相似矩阵与对角化1友情提示本次课讲第五章第二三节：特征值应用相似矩阵与对角化下次课讲第五章第四节：二次型及标准化下次上课时交作业P43-442第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化复习：正交矩阵与正交变换的概念定义4如果n阶矩阵A满足（即），那么称A为正交矩阵.3（6）性质：正交变换不改变向量的长度第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化4四、特征值与特征向量的概念1.定义：设A是n阶矩阵，如果λ和n维非零列向量x使关系式：（1）成立，那么称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量.注意：定义的几个要点（1）A是n阶矩阵，即方阵（2）特征值λ是数，

3、（3）特征向量x是非零向量2.如何求特征值与特征向量（1）特征值的求法第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量5由定义（1）式也可写成:即（2）由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是（3）（3）式是以λ为未知数的一元n次方程，称为A的特征方程在方程（3）或（3*）中A的特征值λ就是特征方程的根.因此,n阶矩阵A有n个特征值(重根按重数计算).所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程即（3*）称为方阵A的特征多项式.经常地，记第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量6（2）特征向量的求法：设为方阵A的一个特征值，则由方程可求得非零解，便是A的对应于特征值的特征向量

4、.第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量3.特征值与特征向量的性质（1）利用特征值计算行列式若n阶矩阵A的特征值为则71)2)（2）1)设λ是方阵A的特征值，证明:证：因λ是A的特征值，所以存在使得于是依次类推可得:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化8（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化9证设有常数，即则同理:将上面各式写成矩阵的形式:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化10或:当个不相同时，范德蒙德行列式则该方程组有唯一零解但，所以所以向量组线性无关.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化11第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角

5、化12第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化13第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化14第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化15第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化16定义：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.（2）对角化的概念：1.相似矩阵与对角化（1）相似矩阵的概念二、矩阵对角化问题的研究2.相似矩阵的性质（1）特征值相同性定理3若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相相同，从而A与B的特征值也相同。第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化17证因

6、A与B相似，即有可逆矩阵P，使所以（2）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则即是A的n个特征值.证因就是Λ的n个特征值，由相似矩阵特征值相同定理知它们也是A的n个特征值.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化18第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化定理4n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.1.n阶方阵A对角化的条件三、对角化方法研究——求相似矩阵P19证：必要性：把P用列向量表示为于是有而P的列向量就是A的对应于特征值可见是A的特征值，的特征向量.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化20充分性

7、：如果Ａ有ｎ个线性无关的特征向量，则以这ｎ个特征向量为向量组组成矩阵Ｐ2.An对角化的判定方法第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化21第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化22概括矩阵A对角化的判断路线如下：第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化23第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化24第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化25第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化26对角化即可相似化，关键看是否有n个无关特征向量，单根能保证，即关键是k重根是否有k个无关向量。有一类我们熟悉的矩阵叫对