理学]线性代数B习题

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1、习题2.12.22.32.43.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.114.14.24.34.44.54.64.75.15.25.35.45.55.65.75.85.95.106.16.26.36.46.56.66.76.87.17.27.37.47.57.67.77.82.1设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为.解则.2.2设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且，解对于将矩阵C的第列逐列前移至第j列，经mn次列的交换，C变成，而，所以2.3五阶行列式.解2.4设A是n阶矩阵，满足(E是n阶

2、单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，，求.解3.1设矩阵满足，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵。若a11,a12,a13为三个相等的正数，则（）。解由3.2已知实矩阵满足条件:⑴，其中Aij是aij的代数余子式；⑵。计算行列式。解由3.3设A、B、、均为n阶可逆矩阵，则（）.解因为3.4设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满足，则().(A)与均不可逆(B)可逆，不可逆(C)不可逆，可逆(D)与均可逆解由3.5设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则.解因为所以3.6设解因为所以，选(C)。则必有（）。3.7设A

3、是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。⑴证明B可逆；⑵求。解将n阶单位矩阵E的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为E(i,j)，则。因为E(i,j)和A都可逆，所以B可逆，且3.8设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为.解设Mij和Aij分别是矩阵A的(i,j)元的余子式和代数余子式，则A*的(i,j)元为。因为，所以A的3阶子式，从而3.9设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有（）。解。由得，即A有2阶非零子式，从而。由得。而。所以选(C)。3.10设A是矩阵，且，而，解由则。3.1

4、1设,B为三阶非零矩阵,且，解因为B为非零矩阵，所以。又，因此.否则A可逆，,与矛盾。则。其中。则线性方程组的解是.解根据克莱姆法则，方程组有唯一解。4.1设4.2设矩阵，矩阵X满足，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。解由得，两边左乘A，有4.3设有齐次线性方程组和，其中A，B均为矩阵，现有4个命题：⑴若的解均是的解，则；⑵若，则的解均是的解；⑶若与同解，则；⑷若，则与同解。以上命题中正确的是（）。⑴⑵⑴⑶⑵⑷⑶⑷解选。4.4设A、B都是n阶非零矩阵，且，则A和B的秩（）.必有一个等于零都小于n一个小于n，一个等于

5、n都等于n解因为A、B都是非零矩阵，故A、B的秩都大于零。如果A、B之一的秩为n，则该矩阵可逆，由可得另一个是零矩阵，与题设矛盾，故选。所以。综合可得。其中。则矩阵A的秩。4.5设，解因为，所以。又因4.6设，AT为A的转置矩阵，则行列式解因为ATA是3阶矩阵，，所以中，，⑴求证；⑵a为何值时，方程组有唯一解，求x1；⑶a为何值时，方程组有无穷多解，求通解。解⑴设，要证，用数学归纳法。因为，，所以当时结论成立。设当时结论也都成立，那么当时，由4.7设矩阵满足方程，其可见结论成立，所以。⑵当时，，方程组有唯一解，⑶当

6、时，方程组有无穷多解，通解为，其中k为任意常数。5.1设，矩阵，n为正整数，则解5.2设均为三维列向量，记矩阵，，如果，那么。解5.3设维n列向量组线性无关，则n维列向量组线性无关的充分必要条件为（）。向量组可由向量组线性表示向量组可由向量组线性表示向量组与向量组等价矩阵与矩阵等价解选。5.4设A,B为满足的任意两个非零矩阵，则必有（）。A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关解选。5.5

7、设，则三条直线（其中）交于一点的充要条件是（）。线性相关线性无关线性相关，线性无关解三直线交于一点，即方程有唯一解，从而，选。5.6是三维列向量，为的转置，为的转置。⑴证；⑵若线性相关，则。证⑴；⑵若线性相关，则存在数k，使，不妨设有，则其中表示列向量的转置，。5.7试证明n维列向量组线性无关的充分必要条件是证线性无关5.8设三阶矩阵A满足，其中列向量试求矩阵A。解，即5.9已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足。⑴记，求三阶矩阵B，使；⑵计算行列式。解⑴⑵5.10设，其中E是n阶单

8、位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：⑴的充要条件是；⑵当时，A是不可逆矩阵。证⑴⑵当时，有。如果A可逆，则在等式的两边左乘，得，这与A可逆矛盾。故A不可逆。6.1设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为，则线性方程组的通解为。解因为A的各行元素之和均为零，所以是该方程组的解。又A的秩为，故方程组的基础解系只含一个解。故此，通解为6.2已知是非齐次线