[工学]第2章逻辑代数的基本运算

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1、第2章逻辑代数的基本运算2.1逻辑代数2.2逻辑函数及其表示方法2.3逻辑代数的基本定律和恒等式2.4逻辑函数的卡诺图化简法2.1逻辑代数逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是19世纪英国数学家乔治·布尔首先提出的。所谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。它是用数学的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和普通代数一样也是用字母表示变量，但是这两种代数中的变量含义是完全不同的，逻辑代数中的每个变量(逻辑变量)只有0

2、和1两种取值,0和1不再表示数量的大小，而是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动机的工作与停止。下一页返回2.1逻辑代数在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻辑代数中有3种基本运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。下一页返回上一页2.1逻辑代数2.1.1与运算首先，我们来

3、看一个具体的电路试验，电路如图2-1所示，电源E通过A,B两个串联的开关给电灯Y供电。从图2-1(a)可以看出，只有开关A,B同时闭合，灯泡Y才会亮，A,B中有一个或两个断开，灯泡Y就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭合用1表示、断开用0表示，灯泡的亮用1表示、不亮用0表示时，表2-1的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，表2-2就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样一种逻辑关系:“只有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生。”这种逻辑关系称为与逻辑与逻辑的表达式可以用下式来描述:下一页返回上一页2.1逻辑代数Y=A

4、·B或Y=AB(2-1)式中的小圆点“·”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的前提下乘号“·”可以被省略，而写成Y=AB。在有些文献里，用符号∧、∩表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所示。下一页返回上一页2.1逻辑代数2.1.2或运算当决定事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足，结果就会发生时，这种逻辑关系称为或逻辑。如图2-2(a)所示就是或逻辑模型电路，图中A,B是两个并联开关，Y是灯泡，E是电源。当A,B均不通时，则灯泡Y不亮;只要开关A或B有一个接通或两个均接通，则灯

5、泡Y亮。可以看出，该电路满足或逻辑关系，其逻辑关系如表2-3所示。下一页返回上一页2.1逻辑代数仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表达式描述可写为Y=A+B(2-2)式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用符号∨,∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-2(b)所示。下一页返回上一页2.1逻辑代数2.1.3非运算另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情(灯泡)的发生是以其相反的条件为依据”。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如图2-3(a)所示。图中E是电

6、源，R是限流电阻。开关A闭合时，灯泡Y不亮;开关A断开时，灯泡Y则亮。下一页返回上一页2.1逻辑代数其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，如表2-6所示，从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为:输入。则输出1;输入1则输出0,即“输入、输出始终相反”。非运算的逻辑表达式可写(2-3)式中，字母A上方的“-”表示非运算在某些文献里，也有用“~”或“﹁”来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图2-3(b)所示。下一页返回上一页2.1逻辑代数2.1.4几种常见的复合逻辑关系与、或、非运算是逻辑代数中最基本的3种

7、运算，任何复杂的逻辑关系都可以通过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号以及逻辑真值表分别介绍如下。下一页返回上一页2.1逻辑代数1.与非运算逻辑表达式为（2-4）逻辑符号如图2-4所示。真值表如表2-7所示从表2-7中可以看出，只有A,B全为1时，Y才为0，与非逻辑和与逻辑正好相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生”。下一页返回上一页2.1逻辑代数2.或非运算逻辑表达式为(2-5)逻辑符号如图2-5所示。真值表如表2-8所示。同样从表2-8中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻

8、辑关系读者可以自己整理一下。下一页返回上一页2.1逻辑代数3.异或运算逻辑表达式为或者(2-6)逻辑符号如图2-6所示。真值表如表2-9所示。异或逻辑的特点是:输入相同时，输出为0;输入相异时，输出为1。下一页返回上一页