逻辑代数的基本运算和规则

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1、第二章逻辑代数基础第二章逻辑代数基础2.1三种基本逻辑运算2.1.1逻辑变量逻辑变量:逻辑代数中用来表达事物状态的量。通常用大写字母表示。逻辑变量的取值：0，1没有数值大小的意义，仅仅表示事物的两种相互对立的状态。例如：开、关；行、止；同意、不同意；举例：A：表示房间里某个灯的状态。A=1（灯亮）A=0（灯灭）12.1.2三种基本运算（与、或、非）举例：考察电路中，开关A、B的状态如何影响灯泡F的状态。（逻辑关系）AABRBEFEFEAF逻辑变量：ABF规定：开关合上：A=1B=1开关断开：A=0B=0灯亮：F=1灯灭：F=01、与运算（逻辑乘）表达式：F=A•B=ABAB逻辑符号：A&F国

2、标符号EFBA美国符号FB（国际符号）AABFF常用符号BUV(5)+0CC二极管与门：0RK(3.9)V01AF1BV222、或运算（逻辑加）表达式：F=AB+AB逻辑符号：A≥1F国标符号BEFA美国符号FB（国际符号）A+F常用符号ABFBV10二极管或门：A1BF1V2R(3.9)K13、非运算（逻辑反）表达式：F=AR逻辑符号：AF国标符号EAF美国符号AF（国际符号）AF常用符号AF二极管或门：UVCC(5)+RCF()UROAV32.1.3逻辑函数逻辑函数:用来表达输入逻辑变量（自变量）与输出逻辑变量（因变量）之间逻辑关系的函数。F=f(A,B,C,")举例：F=A+BC1AB

3、CFF12F=(A+B)(A+C)00000200100逻辑函数的相等：0010001111对于形式不同的两个逻辑函数，如果100111、输入变量相同110112、真值表相同11011111112.2逻辑代数的基本定律和规则2.2.1基本定律1、常量之间的逻辑关系2、变量和常量之间的逻辑关系0•0=00•1=1•0=00－1律：A•0=0A+1=11•1=1自等律：A•1=AA+0=A0+0=00+1=1+0=1重叠律：A•A=AA+A=A1+1=1互补律：A•A=0A+A=10=11=043、与普通代数相似的定律交换律：A•B=B•AA+B=B+A结合律：(A•B)•C=A•(B•C)(A

4、+B)+C=A+(B+C)分配律：A•(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)4、逻辑代数中的特殊规律反演律：A•B=A+BA+B=A•B还原律：A=A2.2.2三个重要规则1.代入规则：任何一个逻辑等式，如果将等式两边出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立。举例：A+B=A•B用B=C+D代替等式两边的B，则有：A+C+D=A•C+D=A•C•D52.反演规则：对于任意一个逻辑函数F，将表达中：•换成＋＋换成•0换成11换成0原变量换成反变量反变量换成原变量所得到的新的表达式为F的反函数，记为：F举例：求F=A+B+C+D+E的反函数。F=A•B•C•D•E注意：1

5、、原式中变量的运算顺序不变2、不属于单变量上的非号保留不变3.对偶规则：对于任意一个逻辑函数F，将表达中：•换成＋＋换成•0换成11换成0所得到的新的表达式为F的对偶函数，记为：F′举例：求F=A+B+C+D+E的对偶函数。F′=ABCDE••••求F=A•B+A•(C+0)的对偶函数。F′=(A+B)•(A+C•1)注意：1、原式中变量的运算顺序不变2、不属于单变量上的非号保留不变62.2.3若干常用公式合并律:AB+=ABA吸收律：A+AB=AA+AB=A+B证明：AA+=++=+=+BAAAB()()1i()ABABAB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+

6、A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC2.3复合逻辑2.3.1复合逻辑运算和复合门与非F=AB或非F=A+B与或非F=AB+CDAA&F≥1FBBA&≥1BAAFFFBBCDAAF+FBB7异或运算F=AB+AB=A⊕B逻辑符号:AABF=1FB0AF1B1A0⊕FB输入变量取值相同时，函数为0；输入变量取值不同时，函数为1.同或运算FA=BA+=BAB:逻辑符号:ABFA=FB1A0BF0A:F1B输入变量取值相同时，函数为1；输入变量取值不同时，函数为0.8异或运算与同或运算的关系：异或运算同或运算F=AB+AB=A⊕BFA=BA+=BAB:ABFABF01101001ABAB

7、⊕=:互为反函数ABAB:=⊕()A⊕=BAB′:互为对偶函数()ABAB:′=⊕（自证）异或运算与同或运算的一些特性：ABF1、因果互换性0FAB=⊕FAB=:1AFB=⊕AFB=:1B=FA⊕B=FA:02、常用公式（见书）其中：⎧0(A的个数为偶数）ABFA⊕A⊕A⊕"⊕A=⎨⎩1（A的个数为奇数）1推广：0A⊕B⊕C⊕D⊕"=?0思考：这个性质可以用来干什么？192.3.1逻辑运算符的完备性完备集：对