2015-2016学年上海中学高二(上)期中数学试卷

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2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.（3分）在平則直角坐标系中，经过原点和点（1，—、/5）的直线的倾斜角€（=2.（3分）设a=（1，2），b=（1，1），c=a+kb.若b丄c，则实数1<的位等于_3.（3分）直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直，贝1J实数m=_4.（3分）三阶行列式42k-354第2行第1列元素的代数余了式为10,则k=-11-25.（3分）且线1的一个方向向量1=（1，2），WU1与且线x-y+2=0的夹角为.（结果用反三角函数值表示）6.（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实醐S’则一7.(3分)过三点A(1，3),B(4,2),C(l,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|=_8.（3分）规定矩阵A3=A*A*A，若矩阵|lx011101，则x的值足9•。分）手細麵在-平而上屬n2,..•，⑽k个数字等醐分布綱崎的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作1.1.U，则L1L1+1tlt2’t2t3+t2t3’t3t4+".+t12tl’t112_•r2x-y+l>010.（3分）设关于x、y的不等式组、x+irKO表示的平Ifli区域内存在点P（恥，y0），[y-m>0满足x（）-2y（尸2，求得m的取位范是.11.（3分）平面向量a，b，e满足Iel=l，a®e=hb*e=2，|a-bl=2,则a*b的最小值为•12.（3分）在如图所示的平Ifti中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2,过动点P作半關的切线PQ,若PC=#Q，贝ijAPAC的积的蝻大值为.二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1IPIX+V:—1的系数行列式D=0足该方程组有3mx-iny=2iri+3解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件14.（4分）如果命题"曲线C上的点的坐标都是方程f（x,y）=0的解〃是正确的，则下列命题中正确的是（）A.曲线C是方程f（x,y）=0的|Hl线B.方程f（X,y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C.不满足方程f（x,y）=0的点（x,y）不在曲线C上D.方程f（x,y）=0是曲线C的方程15.（4分）若对任意的实数X，都有acosx-bsinx=l，则（）A.>1B.C.a2+b2彡1D.a2+b2彡12k22k2abab16.（4分）AABC屮，AB=5,AC=7,AABC的外接圆圆心为O,对于■玩的位，下列选项正确的是（）A.12B.10C.8D.不是定值三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17.（8分）己知点A（1,2）、B（5，-1）,且A,B两点到直线1的距离都为2,求直线1的方程.18.（8分）己知|al=V2,Ibl=l，己与匕的夹角为45°，求使向泉（2;-入$）与（入；-3$）的夹炻是锐角的实数入的取值范围.^x-5y-23<019.（10分）已知X，y满足条件：，x+7y-11<0,求：4x+y+10>0（1）4x-3y的最小值；（2）的収值范围.x+520.（10分）在平面直角坐标系中，设点Pi（xi，yi）、P2（々，y2），称d（P!，P2）=max{|xi-X2I，lyi-y?!）（M:中max{a,b}表示a、b屮的较人数）为P|、P2两点的"切比雪夫距离〃；（1）若P（3,1）、Q为直线y=2x-1上的动点，求P，Q两点的"切比雪夫距离〃的域小值；（2）定点C（x0,y0）,动点P（x,y）满足d（C，P）=r（r〉0）,请求出P点所在的曲线所围成图形的面积.21.（12分）定义：阀心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于阀的距离比入；（1）设圆Co:x2+y2=1,求过P（2,0）的直线关于圆Co的距离比的直线方程； （2）若圆C与y轴相切于点A（0,3）,且直线y=x关于圆C的距离比入=^,求此圆C的方程；(3)是否存在点P,使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两關Cl:(x+1)2+y2=l与C2:(x-3)2+(y-3)2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理凼. 2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.（3分）（2015秋•上海校级期屮）在平而直角坐标系屮，经过原点和点（1，的莨线的倾斜角ct=-22L.一3—【考点】直线的倾斜角.【分析】设此直线的倾斜角为ct，则k=tanc（-'?=-必，即可得!li.【解答】解：设此直线的倾斜角为a，则k:tana:_严__7aE[0tn）,3故答案为：1ZL.3【ZU平】本题考杏了直线的倾斜角与斜率叉系及其计算公式，属于基础题.2.（3分）（2016•洛阳四模）设;=（1,2）,"5=（1，1）,"c=a+kb.若b丄则实数k的值等于-1.一【考点】数最积判断两个平而句朵的乘莨关系.【分析】由题意可得丁的坐标，由玉丄：可得冗*:=（），解关于k的方程可得.【解答】解：V"^=（1,2）,b=（1,1）,c=a+kb=（1,2）+（k,k）=（1+k，2+k）»•••b丄c，•••b*c=l+k+2+k=0»解得k=-2故答案为：-2【点评】本题考查T•面向量的数量积和垂直关系，属基础题.3.（3分）（2015秋•上海校级期屮）莨线（m+3）x+my-2=0与H线mx-6y+5=0互相萌直，则实数m=0或3.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】III直线垂直可得m（m+3）-6m=0,解方程可得m值.【解答】解：•••直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直， ••.m（m+3）-6m=0，解得m=0或m=3，故答案为：0或3.【点评】本题考查且线的一般式方程和垂且关系，属基础题.4.⑽）⑽秋•上赚姗一1-12k54第2行第1列元素的代数余子1-2式为10,则k=6•【考点】三阶矩阵.【分析】本题直接根裾行列式的代数余了式的定义进行计算，即可得到本题结论.42k【解答】解：Y三阶行列式—354第2行第1列元素的代数余了式为10,-11-2A-2k=10,1-2•••-[2X（-2）-k]=10,•••k二6.故答案为：6.【点评】本题考査了行列式的代数余了•式，本题难度不大，属于葙础题.5.（3分）（2015秋•上海校级期中）直线1的一个方向向量W!j1与直线x-y+2=0的夹角为arccos^ZIi.（结果川反三角函数俏表示）【考点】直线的方向向量.【分析】先求出直线x-y+2=0的方向向量是（1,1）,乂直线1的一个方向向量1=（1，2）,从而能求出直线1与x-y+2=0的夹角的金弦位，由此能求出直线1与x-y+2=0的夹角人小.【解答】解：直线x-y+2=0的力*向向量定（1，1），乂直线1的一个力*向向景1二（；1，2），.•.直线1与x-y+2=0的夹角的余弦值足3V2XV510•••宜线1与x-y+2=0的夹角人小为arccos^y^-.故答案为：arccos^ZIP..10【点评】本题考査W直线夹角大小的求法，是基础题，解题时耍认真审题，注意直线的方向h'«J撒的概念的合理运用.6.0分X篇秋•上賺繃中）增广七广）的二元-次方程麵实数解七 则m+n=-4. 【考点】不定方程和方程组•【分析】由已知得到f3+2nP_1，由此能求出m+n的值.U+2二0【解答】解：增广矩pvf3in的二元一次方程组的实数解为fx=1，In10Jly=2.f3+2m二-1"tn+2:0’解得m=-2，n=-2，...m+n=-4.故答衆为：-4.【点评】木题考查代数式的值的求法，是戒础题，解题时要认真帘题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用.7.（3分）（2016•葫芦岛-•模）过三点A（1,3），B（4,2）,C（1，-7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4^•【考点】圆的一般方程.【分析】设岡的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的來•标，求出D,E，F,令x=0,即可得出结论.rl+9+D+3E+F=0【解答】解：设的方稅x2+y2+Dx+Ey+F=0，则＜16+4+4D+2E+F-0,1+49+D-7E+F二0AD=-2,E=4,F=-20,/.x2+y2-2x+4y-20=0,令x=0,可得y2+4y-20=0，y=-2±2y/~^，:.|MN|=4^6.故答案为：4^6-【点评】木题考杏圆的方程，考杏学生的计算能力，确定圆的方程是关键.8（3分）（胁上海-模）规定矩阵“A,若矩阵（:fa则X的值是丄2一【考点】二阶行列式的定义.【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于X的方程，并解出X即可. 鵬为:音【点评】木题考查矩阵的运算，方程思想，属于菽础题.9.（3分）（2012•怀柔区二模）手表的表面在一平面上，整点1，2，...，12这12个数字等间醐分布在半径为争徊周上，驢点i到整点的向量记作冗，则【考点】平面h'di数量积的运算.【分析】把岡分成12份，每一份所对应的岡心角是30度，用余弦定理计算出每个向fi的模的平方都是1-#，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得2可到结果.【解答】解：整点把圆分成12份，/.每一份所对应的圆心角是3（）度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为1-H,每对向S的夹角为30°,2.•.毎对向量的数量积为（1-^-）故答案为：6V3-9.【点评】木题是向S数S积的运算，条件中没冇直接给出两个向S的模和两向S的夹角，只楚题0所要的14景要应川脚的性质來运算，把14暈的数量积同解析儿何问题结合在一起."2x-y+l>010.（3分）（2016•衡水模拟）设关于x、y的不等式组x+ir<0表示的平面区域内存y-m>0i.在点P（xo,yo），满足xo-2yo=2,求得m的収值范围是-2）.3【考点】简单线性规划.【分析】由题意作出其平側区域，则由图町知，点（_m，m）在直线x=2y+2的下方，故-m-2m>2,从而解得.【解答】解：山题意作出其平而区域， 则由图可知，点（-m，m）在直线x=2y+2的卜'方，故-m-2m>2,解得，m<--?-；3故答案为：（-°°，-—）.3【点评】木题考杏了简单线性规划，作阁要细致汄真，属于中捫题.9.（3分）（2015•湖南模拟）平面向量a，b，e满足Iel=l，a*e=l，b*e=2,Ia-bl=2,则；的最小值为_~^_.—A—【考点】平面向量数量积的运算.【分析】如阁所示，建立直角坐标系.由|el=l，不妨设e=（l，0）.由a*e=l，b*e=2可设a=（1，m），b=（2，n）.利用|a-b|=2,可得^+化-n）2=2,（m+n）2=3+4mn彡（），再利用数:W:积运算：•I=2+mn即可得出.【解符】解：如图所示，建立直角叱标系.•••|e|=l，•••不妨设e二（丨，0）.•••a*e=l，b*e=2，•••可设a=（1，m），b=（2，n）.（-1，m-n）.•••la-bl=2， •••Vl+（m-n）2:2,化为（m-n）2=3,...(min)2=3+4mnX)，-2，当且仅当m=-n=时取等号.42•••a,b=2+mn>2_—44故答案为：【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有叉问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题.9.（3分）（2015秋•上海校级期巾）在如阁所示的平而中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2,过动点P作半圆的切线PQ，若POa/^PQ,则APAC的面积的最大值为【考点】圆的切线方程.【分析】以AB所在且线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，逑立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导岀点P的轨迹力*程是以（-3,0）为圆心，以r=2G为半径的圆，由此能求出APAC的血积的最大值.【解答】解：以AB所在且线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平而直角坐标系，VAB=BC=2,AC（3,0）,设P（x，y），过动点P作半岡的切线PQ，PC=V2PQ^3）2+y2=V2*Vx2+y2-P整理，得x2+y2+6x-11=0，.•.点P的轨迹方程是以（-3,0）为圆心，以r=2^为半径的圆，•••当点P在直线x=-3上吋，APAC的面积的最大， ...（SapaC）max=-~X4X2、/^=4V"^.故答案为：4V5.【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题吋嬰认真审题，注意两点间距离公式的合理运用.二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）（ITIX+V=—1的系数行列3mx-iny=2iri+3式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【考点】二元一次方程组的矩阵形式.【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2X2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列昀量.而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它柯唯一解.并不是说科解.【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D#0时，方程组冇唯一的解；系数矩阵D奇昇吋，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解./.系数行列式D=0,方程可能冇无数个解，也有可能无解，反之，若方程组奋解，可能奋唯一解，也可能奋无数解，则行列式D可能不为0,也可能为0.总之，两者之间互相推出的问题.故选D.【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立.14.（4分）（2012•徐汇区二模）如果命题"曲线C上的点的坐标都是方程f（x,y）=0的解〃是正确的，则下列命题中正确的是（）A.曲线C是方程f（x，y）=0的曲线A.方程f（x,y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上B.不满足方程f（x,y）=（）的点（x,y）不在曲线C上C.方程f（x,y）=0足曲线C的方程【考点】曲线与方程.【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方側，进行判断. 【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x,y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方租f（x：y）=0的曲线不正确；方程f（x,y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（X，y）=（）的轨迹，从而得到A，B,D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是il:确的.故选C.【点评】本题考查曲线与方程的关系，只奋llh线C上的点的华标都是方程f（x,y）=0的解，而且以方程f（X，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，才能得出方程f（x,y）二0的曲线是C，曲线C的方程是f（x，y）=0.14.（4分）（2015秋•上海校级期中）若对任意的实数X，都有acosx-bsinx=l，则（）A.>1B.C.a2+b2彡1D.a2+b2彡1a2b2a2b2【考点】基本不等式.【分析】由题意和三角函数辅助角公式可得.【解答】解:•••对任意的实数X，都有acosx-bsinx=1，•••l=acosx-bsinx=V+b2sin（巾-x）,其中•••l^/a2+b2,平方可得a2+b2彡1故选：C【点评】本题考查不等式，涉及三角阑数的最值，属基础题.15.（4分）（2015秋•上海校级期中）AABC中，AB=5,AC=7,ZiABC的外接圆圆心为0,对于16•況的值，下列选项正确的是（）A.12B.10C.8D.不是定值【考点】叫置在几何屮的应用.【分析】O为AABC外接岡岡心，可取AB边中点E,AC边中点F，连接OD,OE，AO,从而有0D丄AB，0E丄AC,ifiJ^opBC=AO*AC-AO*ABJ从而进行数S•积的计算，便川得出该数量积的值.【解答】解：如图，取AB屮点D，AC屮点E,连接OD,OE，贝IJ:OD丄AB，OE丄AC;A0-BC=A0-（AC-AB）.»»»:A0-AC-AO-ABIAO|lAClcos/OAE-IA0||AB|cosZ0AD 番ac-aO‘故选A.【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的儿何意义，以及A景数景积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系.三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）14.（8分）（2015秋•上海校级期中）己知点A（1，2）、B（5，-1）,且A,B两点到直线1的距离都为2,求直线1的方程.【考点】点到直线的距离公式.【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1,2）和点B（5，-1）两点的连线平行，一类足线L过两点A（1,2）和点B（5,-1）屮点，分类解出直线的方程即可.【解答】解：•/IAB|=^/（5-l）2+（-l-2）2=5»丄lAB|〉2，2/.A与B可能在直线1的同侧，也可能直线1过线段AB屮点，①当直线丨平行直线AB时：kAB=~1~2=-可设直线1的方程为尸-_2x+b5-144-y-2+b|依题意得：_rr=:—=2,解得：或b二1，944故直线1的方程为：3x+4y-1=0或3+4y-21=0（6分）②当直线1过线段AB中点时：AB的中点为（3,丄），可设直线1的方程为y-l=k（x-3）22依题意得：卜31二2,解得：k二L，故直线1的方程为：lx-2y--^=0.244【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键足掌握好点到直线的距离公式与屮点少标公式，对空间想像能力要求较高，考杏了对题目条件分析转化的能力.15.（8分）（2015秋•上海校级期中）已知|^|=人，|b|=l,的夹角为45°，求使向最（2a-人b）与（人a-元）的火角是锐角的实数人的取值范围.【考点】数S积表示两个向呈的夹角. 【分析】根据题意便知（2a-a-3b）^从而根据条件进行数S积的运算便可得出X2-7入+6<0，再求出（2^-入与（入S-3^）同向吋入的取值，这样便可得出入的取值范围.【解答】解：d-Xb）与（人I-3了）夹角为锐角时,（2a-a-3b）=2Xa2-（6+X2）a*b+3^b2=4X-（6+入2）+3X>0；解得10,WJ：f入=2id!3=入ID解得诉'2•••实数X的取值范围为（1,V6）U（V6,6）.【点评】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，共线向量基本定理，T•面14量基本定理，解一元二次不等式.^x-5y-23<019.（10分）（2015秋•上海校级期屮）己知x，y满足条件：jx+7y-11<0,求:4x+y+10>0（1）4x-3y的最小值;（2）X_y+1的取值范围.x+5【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的T•面区域，利川阑数的儿何意义，进行求最值即可.’7x-5y-23<0【解答】解：（1）不等式组、x+7y-ll<0表示的公共区域如图所示：L4x+y+10>0其中A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2),设z=4x-3y，则y+-f平移直线由剛知当直线y+-i过C点时，直线的截耐’此时■小值，将C(-3,2)，代入z=4x-3y得最小值,即z的最小值z=4X(-3)-3X2=-18.y+4x+5’x-y+1_x+5-(y+4)x+5x+5x+5则k的儿何意义足动点（x,y）到定点D（-5,-4）的斜率, (ftKcd=-4-25+3=3,KBd=-4+65+1’•十k<3,•••-於叫，【点评】木题主要考杏线性规划的基木应用，利用目称函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合足解决问题的基本方法.20.（10分）（2015秋•上海校级期中）在平面直角坐标系中,设点Pi（xPyi）、P2（x2,y2），称d（Pi，P2）=max{|xi-X2I，Iyi-y21}（其屮max{a，b}表示a、b1!1的较大数）为Pi、P2两点的"切比雪夫距离〃；（1）若P（3,1）、Q为直线y=2x-1上的动点，求P，Q两点的"切比雪夫距离〃的蝻小值；（2）定点C（x0,y0）,动点P（X，y）满足d（C，P）=r（r〉0）,请求出P点所在的曲线所围成图形的面积.【考点】函数的最值及其儿何意义.【分析】（1）设Q（X，2x_1），可得d（P，Q）=max{|x-31，12-2x|},讨论|x-31，|2-2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；（2）运用分段函数的形式求得d（C，P）,分析各段与不等式表示的区域的图形，即可得到面积.【解答】解：（1）设Q（x,2x-1），可得d（P,Q）=max{|x-3|,|2-2x|},由|x-3|彡|2-2x|,解得-1彡x彡互，即冇d（P，Q）=|x-3|,3当X=1时，取得鉍小值1;33|ll|x-3|<|2-2x|,解得x〉互或x<-1,即有d（P,Q）=|2x-2|,3d（P：Q）的范劑是（3，U（—,+°°）=（—,23综上讨得，P,Q两点的"切比雪夫距离〃的最小值为3 (2)由题意可得，d(C，P)=r=x0-x|>|y0-yx0-x|<|y0-y当Ixo-x|彡|yo-yI，|xo_x|=r，即有x=xo土r，围成的图形为关于点(xo,yo)对称的三角形区域；当|x0-x|/^r③V2解方程可得a=-3，b=3，r=3,或a=l，b=3，r=l.则有圆C的方程为(x+3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y-3)2=1:(3)假设存在点P(m，n)，设过P的两直线为y-n=k(x-m)和y-n=-—(x-m),又Ci:(x+l)2+y2=l的圆心为(-1，0)，半径为1，kC2：(x-3)2+(y-3)2=4的圆心为(3，3)，半径为2,由题意可得•|k+kin_n|k|y-+3-—-nVl+k222jl+化简可得k(2m+n■1)+(m-2n-3)=0，或k(2m-n+5)+(3-m-2n)=0,即冇2irH-n=lm-2n=3或，解得itfIn二_1ITF2in~n=_5in+2n=37n-11则存在这样的点P(l,-1)和(-丄，11),使得使过P的任意w条互相垂直的直线55分别关于相应两圆的距离比始终相等.【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和岡的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题.