上海中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析汇报版).doc

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实用文档2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷　一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a2，﹣a3，a2﹣1}且A⊆B，则a的值是　　．2．已经集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}，则集合M∪N=　　．3．“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是　　．4．已知a1≤a2，b1≥b2，请比较下面两式大小：a1b1+a2b2　　a1b2+a2b1．5．不等式x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）的解集为　　．6．关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值范围是　　．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　　吨．8．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是　　．9．已知正实数x，y满足+=1，那么2x+3y的最小值为　　．10．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为　　．11．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=　　．12．已知正数x，y满足：x2+2xy=3，则z=+的取值范围是　　．　二、选择题（每小题3分） 实用文档13．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则下列结论正确的是（　　）A．M⊆NB．M⊆（∁RN）C．（∁RM）⊆ND．（∁RM）⊆（∁RN）14．集合M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，P的真子集个数是（　　）A．63B．127C．217﹣1D．220﹣115．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知命题：“若|k|≤1，则关于x的不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（　　）A．0B．2C．3D．417．已知a，b都是负实数，则的最小值是（　　）A．B．2（﹣1）C．2﹣1D．2（+1）　三、解答题（7+7+11+12+12）18．设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，非空集合Q={x|2a≤x≤a+3}，若P∪Q=P，求实数a的取值范围．19．已知a，b，x，y均为正数，a≠b，求证：+≥．20．（1）解不等式：+2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．21．（1）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0恰有三个不相等的实数根，求实数a的值． 实用文档（2）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，求实数a的值．22．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+∈A．（1）试问集合A能否恰有两个元素且∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由．（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．　 实用文档2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a2，﹣a3，a2﹣1}且A⊆B，则a的值是　　．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={0，a}及集合元素的互异性可知a≠0，所以a2≠0，﹣a3≠0，又A⊆B，所以a2﹣1=0，解得a=±1，再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由A={0，a}及集合元素的互异性可知a≠0，所以a2≠0，﹣a3≠0，又A⊆B，所以a2﹣1=0，解得a=±1．当a=﹣1时，a2=﹣a3=1，这与集合元素互异性矛盾，舍去．当a=1时，A={0，1}，B={1，﹣1，0}，满足A⊆B．综上a=1，故答案为：1．　2．已经集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}，则集合M∪N=　　．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合N，然后求解并集即可．【解答】解：集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}={x|3＜x＜9}，集合M∪N={x|1＜x＜9}．故答案为：{x|1＜x＜9}． 实用文档　3．“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是　　．【考点】命题的否定．【分析】根据否命题的定义即可得到否命题．【解答】解：同时否定条件和结论得到命题的否命题是：若xy≠0，则x≠0且y≠0．故答案为：若xy≠0，则x≠0且y≠0．　4．已知a1≤a2，b1≥b2，请比较下面两式大小：a1b1+a2b2　　a1b2+a2b1．【考点】不等式比较大小．【分析】作差因式分解即可得出大小关系．【解答】解：∵a1≤a2，b1≥b2，∴a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=a1（b1﹣b2）+a2（b2﹣b1）=（a1﹣a2）（b1﹣b2）≤0，∴a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1．故答案为：≤．　5．不等式x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）的解集为　　．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于x（x+1）2（x﹣2）＞0，当x=﹣1时，不等式不成立，当x≠﹣1时，不等式等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2且x≠﹣1，问题得以解决．【解答】解：x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）等价于x（x+1）2（x﹣2）＞0，当x=﹣1时，不等式不成立，当x≠﹣1时，不等式等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2且x≠﹣1， 实用文档故不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）．　6．关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值范围是　　．【考点】函数恒成立问题．【分析】分m=0、m≠0两种情况进行讨论：m=0时易检验；m≠0时，有，即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，∴当m=0时，有8≥0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m≤1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m≤1．故答案为：[0，1]．　7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　　吨．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元， 实用文档一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．　8．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是　　．【考点】充要条件．【分析】先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜来确定m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣≤m≤．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．　9．已知正实数x，y满足+=1，那么2x+3y的最小值为　　．【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 实用文档【分析】根据正实数x，y满足+=1，将2x+3y转化成（2x+3y）（+），然后利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴2x+3y=（2x+3y）（+）=2+6++≥8+4，当且仅当=时取等号∴2x+3y的最小值为8+4．故答案为：8+4．　10．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为　　．【考点】归纳推理；一元二次不等式的应用．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）不等式将x换成得不等式，故∈，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式的解集为， 实用文档则关于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈，则x∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），故答案为（﹣3，﹣1）∪（1，2）．　11．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=　　．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】画出函数f（x）=x2﹣3x+4的图象，可知f（x）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．【解答】解：画出函数f（x）=x2﹣3x+4=（x﹣2）2+1的图象，可得f（x）min=f（2）=1，由图象可知：若a＞1，则不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立；又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；∴b=4，此时a=0；∴b﹣a=4．故答案为：4． 实用文档　12．已知正数x，y满足：x2+2xy=3，则z=+的取值范围是　　．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意y=＞0，则0＜x＜，再化简z，结合导数知识，即可得出结论．【解答】解：由题意y=＞0，则0＜x＜z=+=﹣x﹣，∵x＞0，∴z′=﹣﹣1＜0，∴函数在（0，）上单调递减，∴z＞﹣3﹣，故答案为：z＞﹣3﹣．　二、选择题（每小题3分）13．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则下列结论正确的是（　　）A．M⊆NB．M⊆（∁RN）C．（∁RM）⊆ND．（∁RM）⊆（∁RN）【考点】集合的包含关系判断及应用． 实用文档【分析】易求N={x|x＜﹣1，或x＞3}，∁RN={x|﹣1≤x≤3}，从而可得答案．【解答】解：∵M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，∴∁RN={x|﹣1≤x≤3}，显然{x|0≤x≤2}⊆{x|﹣1≤x≤3}，即M⊆（∁RN），故选：B．　14．集合M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，P的真子集个数是（　　）A．63B．127C．217﹣1D．220﹣1【考点】子集与真子集．【分析】利用已知条件求出集合P，然后可得真子集个数．【解答】解：∵M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，∴P={0，2，3，4，6，8，12}．∴集合P的真子集个数为：27﹣1=127．故选：B．　15．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论． 实用文档【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，则=（a+b），两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，即φ（a，b）=0，故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．故选C．　16．已知命题：“若|k|≤1，则关于x的不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（　　）A．0B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，让后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：若（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集，当k2﹣4=0，即k=±2时，若k=2，则不等式等价为4x﹣1≥0，得x≥，解集不是空集，不满足条件．，若k=﹣2，则不等式等价为﹣1≥0，得解集是空集，满足条件．，若k≠±2，若不等式的解集是空集，则k2﹣4＜0且△=（k+2）2+4（k2﹣4）＜0， 实用文档即﹣2＜k＜2且5k+4k﹣12＜0，即，得﹣2＜k＜，即不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集的等价条件为﹣2≤k＜，即原命题等价为若|k|≤1，则﹣2≤k＜，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，原命题的逆命题等价为若﹣2≤k＜，则|k|≤1，则逆命题为假命题，则命题的否命题为假命题，故四个命题中假命题的个数为2个，故选：B　17．已知a，b都是负实数，则的最小值是（　　）A．B．2（﹣1）C．2﹣1D．2（+1）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．【解答】解：直接通分相加得==1﹣=1﹣因为a，b都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2 实用文档分母有最小值，即有最大值那么1﹣可得最小值最小值：2﹣2故选B．　三、解答题（7+7+11+12+12）18．设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，非空集合Q={x|2a≤x≤a+3}，若P∪Q=P，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算．【分析】首先，化简集合P，然后，结合条件P∪Q=P，求解实数a的取值范围．【解答】解：由集合P得：P={x|﹣2＜x＜3}，∵P∪Q=P，∴Q⊆P，∴，∴﹣1＜a＜0，∴实数a的取值范围为（﹣1，0）．　19．已知a，b，x，y均为正数，a≠b，求证：+≥．【考点】不等式的证明． 实用文档【分析】先将（+）（x+y）=a2++b2=a2+b2+（），利用基本不等式a2+b2≥2ab，即可证得结论．【解答】证明：∵（+）（x+y）=a2++b2=a2+b2+（）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．∴+≥．　20．（1）解不等式：+2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）由+2x≤5得，解之即可得到不等式：+2x≤5的解集；（2）＞（a∈R）⇒＞0，通过对参数a分a＜0、a=0、0＜a＜、a=、a＞五类讨论，可分别求得不等式＞的解集．【解答】解：（1）∵+2x≤5，∴，即，解得：1≤x≤2，∴不等式：+2x≤5的解集为[1，2]．（2）由＞（a∈R）得：﹣=＞0．当a=0时，解得：x＜2； 实用文档当a≠0时，＞0⇔＞0．当a＞0时，若﹣2=2，即a=时，解得：x≠2；若﹣2＞2，即0＜a＜时，解得：x＞﹣2或x＜2；若﹣2＜2，即a＞时，解得：x＜﹣2或x＞2；当a＜0时，解得：﹣2＜x＜2．综上所述，a＜0时，不等式：＞的解集为{x|﹣2＜x＜2}；a=0时，不等式：＞的解集为{x|x＜2}；0＜a＜时，不等式：＞的解集为{x|x＞﹣2或x＜2}；a=时，不等式：＞的解集为{x|x≠2}；a＞时，不等式：＞的解集为{x|＜﹣2或x＞2}．　21．（1）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0恰有三个不相等的实数根，求实数a的值．（2）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，求实数a的值．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，则f（x）为偶函数，根据对称性可知x=0为f（x）的一个零点，从而得出a，再进行验证即可；（2）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，对a进行讨论，得出f（x）的单调性，利用零点的存在性定理列出不等式解出a的范围．【解答】解：（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0， 实用文档即4a2﹣3=0，解得a=．当a=时，f（x）=x2+|x|≥0，此时f（x）只有一个零点x=0，不符合题意，当a=﹣时，f（x）=x2﹣|x|，此时f（x）有三个零点，x=0，x=，x=﹣，符合题意，∴a=﹣．（2）设f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3=．显然f（x）是偶函数．①若a≥0，则f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，∵f（x）在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，∴，解得．②若a＜0，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在[a，0）上单调递增，在[0，﹣a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．∵f（0）=4a2﹣3，f（a）=f（﹣a）=3a2﹣3，f（1）=4a2+2a﹣2，且f（x）在[﹣1，1]上有两个不同的解，∴或．解得﹣1．综上，a的取值范围是[﹣1，﹣）∪[，）．　22．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+∈A．（1）试问集合A能否恰有两个元素且∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由． 实用文档（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】（1）先确定b=3a，再利用集合A恰有两个元素且∈A，a=或b=，即可得出结论；（2）利用反证法，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，1+=，∴=，∴b=3a，∵集合A恰有两个元素且∈A，∴a=或b=，∴b=4或a=，∴A={，4}或B={，}；（2）由题意，3个元素为a，b，1+，若a＜b＜1+，则1+∈A，1+∈A，令1+=a，可得a2﹣a﹣b=0，1+=b，可得b2﹣b﹣a=0，两方程相减可得a=b与已知矛盾，故集合A不能恰有三个元素．　 实用文档2016年10月12日