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1、第四节分布函数的拟合优度检验前面几节中讨论了总体分布形式已知时关于总体参数的假设检验。但在许多实际问题中并不能预先知道总体分布的形式。这时，就需要根据样本提供的信息，对总体的分布作出假设，并对此假设进行检验。本节我们将介绍由英国统计学家卡尔·皮尔逊提出的拟合优度检验法。拟合优度检验法的基本原理和步骤：1.提出原假设H0：总体X的分布函数为F(x)备择假设H1：总体X的分布函不是F(x)(1)备择假设可以不必写出.(2)若X是离散型总体，原假设相当于：H0：总体X的分布律为：P{X=xi}=pi,i=1,2,……若X是连续型总
2、体，原假设相当于：H0：总体X的概率密度为f(x).说明:(3)若在原假设H0下，总体分布的形式已知，但有r个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这r个参数.2.将x轴分成K个互不重迭的小区间：3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数，记为fi（i=1,2,……,K），称其为实际频数.所有实际频数之和f1+f2+…+fk等于样本容量n.4.在原假设H0为真时，计算总体落入每个区间的概率Pi=F（bi）-F（bi-1）（i=1,2,……,K），于是npi就是落入第i个区间的样本值的理论频数.反映了实际频数与理论频数的
3、差异.当原假设H0为真，样本容量又充分大时，两者并证明了如下定理：的差异应不会太大，皮尔逊由此引进统计量：定理（皮尔逊）若n充分大，H0为真时，不论H0中的分布属于什么类型，统计量总是近似服从自由度为K-r-1的分布，即其中r是分布中被估计的参数的个数.由此得5.检验统计量：拒绝域：要适当合并区间以满足这个要求。拟合优度检验法是在n充分大的条件下得到的，所以在使用时必须注意n要足够大及npi不能太小，根据实际经验，要求n≥50，理论频数npi≥4，否则注:例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，按不同颜色小汽车分类
4、如下汽车颜色红棕黄白灰蓝事故次数751257080135115如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.问：交通事故是否与汽车的颜色有关？分析：解：原假设检验统计量：拒绝域：列表计算汽车颜色fiPinPifi-nPi红棕黄白灰蓝n=600-252530-2035157512570801351151/61/61/61/61/61/61001001001001001006.256.259412.252.2540∑所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.因为例2.某电话交换台，在100
5、分钟内记录了每分钟被呼唤的次数X，设fi为出现该X值的频数，结果如下：X0123456789fi071218172013634问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松分布吗？解：按题意，原假设由于λ未知，首先须用极大似然估计法，求得λ的估计值（看七章二节例5）：检验统计量：拒绝域：列表计算：XfiPinPifi-nPi≤1234567≥8n=10071218172013671.3099∑-0.02-0.340.18-2.293.300.95-1.46-0.320.000060.00940.00180.27190.6521
6、0.07490.28570.01407.0212.3417.8219.2916.7012.057.467.320.07020.12340.17820.19290.16700.12050.07460.0732因为所以接受H0，认为电话交换台每分钟呼唤次数X服从泊松分布.说明:将n=0和n=1合并，n=8与n≥9合并是为了保证理论频数npi≥4.例3.为了研究患某种疾病的21~59岁男子的血压（收缩压，单位：mm-Hg）这一总体X，抽查了100个男子，得，，样本值分组如下：序号分组fi序号分组fi12345（－∞，99.5)[9
7、9.5,109.5)[109.5，119.5)[119.5，129.5)[129.5，139.5)582227176789[139.5，149.5)[149.5，159.5)[159.5，169.5)[169.5，＋∞)9552取α=0.10，检验21~59岁男子的血压（收缩压）总体X是否服从正态分布。解：按题意，原假设由于μ,σ2未知，首先须用极大似然估计法，求得其估计值（看教科书七章二节例2）：检验统计量：拒绝域：列表计算：H0为真时，列表计算：12345678n=10058222717957∑XfiPinPifi-nP
8、i分组(－∞，99.5)[99.5,109.5)[109.5,119.5)[119.5,129.5)[129.5,139.5)[139.5,149.5)[149.5,159.5)[159.5,＋∞)0.06550.10560.17720.22310.19890.13290.06610.03
