勾股数公式的推导及其应用

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1、勾股数公式的推导及其应用摘要：针对如何求解勾股数，本文进行了系统的分析和研究，给出了几种奇妙的勾股数公式的一般性推导过程，解决了给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方法，为勾股数的求解提供了理论依据。关键词：勾股数公式推导应用中图分类号：0434文献标识码：A内容：我们知道凡是能满足a2+b2=c2成立的a、b、c的正整数解，都是一组勾股数。当给出任意一个大于等于3的正整数为直角边时，如何求解一组勾股数中另外的两个勾股数的值，下面就这一问题探讨如下：一、给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数我们知道

2、任意大于等于3的正整数都可表示成2mn（偶数）或mn（奇数或偶数）的形式（m〉n，m，n属于正整数）当a=2mn时则a2=4m2n2由勾股定理a2+b2=c2则a2=c2-b2=4m2n2•••c2-b2=2m2n2+2m2n2=2m2n2-(—2m2n2)=[m4+2m2n2+n4]-[m4-2m2n2+n4]二(m2+n2)2-(m2-n2)2•••c=m2+n2b=m2—n2则有a=2mnb=m2-n2c=m2+n2(m〉n，m，n属于正整数)a、b、c三数构成勾股数。(1)式同理：当a=mn则a2=m2n2由勾股定理a

3、2+b2=c2a2=c2-b2=m2n2c2-b2=l/2m2n2+l/2m2n2=l/2m2n2-(-l/2m2n2)=[1/4m4+l/2m2n2+l/4n4]-[1/4m4-l/2m2n2+1/4m4n4]:[1/2(m2+n2)]2-[1/2(m2_n2)]2•••c=1/2(m2+n2)b=1/2(m2-n2)则有a=mnb=1/2(m2-n2)c=1/2(m2+n2)(m>n,m，n属于正整数且m，n同为奇数或偶数)a、b、c三数构成勾股数。(2)式由此我们得到给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方

4、法；1、当给定的直角边为大于等于3的奇数或大于等于4的偶数时，先将给定的奇数或偶数分解成两数的乘积run(m〉n，m，n属于正整数)，当m:n同为奇数或偶数时。利用a=mnb=l/2(m2-n2)c=1/2(m2+n2)(m〉n,m，n属于正整数)a、b、c三数构成勾股数公式求解勾股数b、C的值。例1:a=11，求勾股数b，c的值解Ya=mn=llX1,m=ll，n=l(m，n同为奇数)将m=ll，n=l代入b=l/2(m2-n2)=1/2(112—12)=60将m=ll，n=l代入c=l/2(m2+n2)=1/2(112+1

5、2)=61/.II、60、61为1组勾股数。例2:a=81,求勾股数b，c的值解7a=mn=27X3，m=27，n=3(m，n同为奇数)将m=27,n=3代入b=l/2(m2—n2)-1/2(272—32)-360将m=27,n=3代入c=1/2(m2+n2)=1/2(272+32)=369•••81、360、369为1组勾股数。例3:a=16,求勾股数b，c的值解Ya=mn=8X2,m=8，n=2(m，n同为偶数)将m=8，n:2代入b:1/2(m2—n2):l/2(82—22)=30将m=8，n=2代入c=1/2(m2+n

6、2)=1/2(82+22)=34•••16、30、34为1组勾股数。2、当给定的直角边为大于等于4的偶数时，利用a=2mnb=m2-n2c=m2+n2(m>n,m,n属于正整数)，a、b、c三数构成勾股数公式求解勾股数b、c的值。即先将给定的偶数除以2,再将余数分解成两数的乘积mn，求得m，n的值代入b=(m2_n2)c=(m2+n2)公式求解勾股数b、c的值。例1:a=26，求勾股数b，c的值解...a二2mn=2X13X1m=13，n=l将m=13，n=l代入a=(m2-n2)=(132-12)=168将m=ll，n=l代

7、入c=(m2+n2)=(132+12)=170•••26、168、170为1组勾股数。例2:a=6，求勾股数b，c的值解...a=2mn=2X3Xlm=3，n=l将m=3，n=l代入b=(m2-n2)=(32-12)=8将m=3，n=l代入c=(m2+n2)=(32+12)=10•••6、8、10为1组勾股数。二、给定大于等于3的奇数为直角边，求解勾股数我们先看几个勾股数如；32+42=52勾3股4弦53，4，5是勾股数52+122:132勾5股12弦135，12，13是勾股数72+242=252勾7股24弦257，24，25

8、是勾股数92+402=412勾9股40弦419，40，41是勾股数从以上几组勾股数可归纳出：1：勾为大于等于3的奇数。2：股和弦是数字相差1的两个正整数，股为偶数，弦为比股大1的奇数。Y任何一个大于等于3的奇数都可表示成2n+l(n^l,n属于正整数)。(任何一个大于等于3的