勾股数公式的推导及其应用(作者：张爱献 张天倚)

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1、勾股数公式的推导及其应用作者：张爱献张天倚（中铁十局集团第三建设有限公司，合肥23060113721130309）（安徽省淮南市二中，淮南23203805545321518）摘要:针对如何求解勾股数，本文进行了系统的分析和研究，给出了几种奇妙的勾股数公式的一般性推导过程，解决了给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方法，为勾股数的求解提供了理论依据。关键词:勾股数公式推导应用Abstract:Theauthorshavecarriedontheanalysisandresearchonhowtosolvethenumberofshares,giv

2、ingthegeneralderivationofseveralnumbersofshares,havingsolvedthemethodofnumberofsharesofanygivensquareedgewhichisapositiveintegergreaterthanorequalto3,andhereofprovidestheorybasisforthesolutionaccordingly.Keywords:numberofsharesformuladerivationapplication内容：222我们知道凡是能满足a+b=c成立的a、b、c

3、的正整数解，都是一组勾股数。当给出任意一个大于等于3的正整数为直角边时,如何求解一组勾股数中另外的两个勾股数的值，下面就这一问题探讨如下：一、给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数我们知道任意大于等于3的正整数都可表示成2mn（偶数）或mn（奇数或偶数）的形式(m＞n,m，n属于正整数)222当a=2mn时则a=4mn222由勾股定理a+b=c22222则a=c-b=4mn222222∵c-b=2mn+2mn2222=2mn-（-2mn)42244224=[m+2mn+n]-[m-2mn+n]222222=（m+n)-（m-n)2222∴c=m+n

4、b=m-n2222则有a=2mnb=m-nc=m+n(m＞n,m，n属于正整数)a、b、c三数构成勾股数。(1)式222222同理：当a=mn则a=mn由勾股定理a+b=c22222a=c-b=mn2222222222c-b=1/2mn+1/2mn=1/2mn-（-1/2mn)422442244=[1/４m+1/２mn+1/４n]-[1/４m-1/２mn+1/４mn]222222=[1/２（m+n)]-[1/２（m-n)]2222∴c=1/２（m+n)b=1/２（m-n)2222则有a=mnb=1/2（m-n）c=1/2（m+n）(m＞n,m，n属于正整数且m

5、，n同为奇数或偶数)a、b、c三数构成勾股数。(2)式由此我们得到给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方法；1、当给定的直角边为大于等于3的奇数或大于等于4的偶数时，先将给定的奇数或偶数分解成两数的乘积mn(m＞n,m，n属于正整数)，当m，n同为奇数或偶数时。2222利用a=mnb=1/2（m-n）c=1/2（m+n）(m＞n,m，n属于正整数)a、b、c三数构成勾股数公式求解勾股数b、c的值。例1：a=11，求勾股数b，c的值解∵a=mn=11×1，m=11，n=1（m，n同为奇数）2222将m=11，n=1代入b=1/2（m-n）=1/2

6、（11-1）=602222将m=11，n=1代入c=1/2（m+n）=1/2（11+1）=61∴11、60、61为1组勾股数。例2：a=81，求勾股数b，c的值解∵a=mn=27×3，m=27，n=3（m，n同为奇数）2222将m=27，n=3代入b=1/2（m-n）=1/2（27-3）=3602222将m=27，n=3代入c=1/2（m+n）=1/2（27+3）=369∴81、360、369为1组勾股数。例3：a=16，求勾股数b，c的值解∵a=mn=8×2，m=8，n=2（m，n同为偶数）2222将m=8，n=2代入b=1/2（m-n）=1/2（8-2）=

7、302222将m=8，n=2代入c=1/2（m+n）=1/2（8+2）=34∴16、30、34为1组勾股数。22222、当给定的直角边为大于等于4的偶数时，利用a=2mnb=m-nc=m+n(m＞n,m，n属于正整数)，a、b、c三数构成勾股数公式求解勾股数b、c的值。即先将给定的偶数除以2，再将余数分解成两数的乘积mn，求得m，2222n的值代入b=（m-n）c=（m+n）公式求解勾股数b、c的值。例1：a=26，求勾股数b，c的值解∵a=2mn=2×13×1m=13，n=12222将m=13，n=1代入a=（m-n）=（13-1）=1682222将m=11

8、，n=1代入c=（m+n）=（13+1