常见的勾股数及公式

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1、常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2

2、=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，

3、１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x，x＋１，）（x为正整数）。设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），y=则（＊）整理，得＝，化为，即＝－１，又＝－１，∴＝－１（ｎＮ），故取＝，＝，解之，得x＝〔＋－２〕，y＝〔－〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（〔＋－２〕，〔＋－２〕＋１，〔－〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m2－1,c=m

4、2+1（m大于1的整数）.2.a=（m2－n2）,b=mn,c=（m2+n2）（其中m>n且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；123537；138485；144850；152025；153639；15112113；163034；16636517144145；182430；188082；19180181；202129；204852；209

5、9101；212835217275；21220221；22120122；23264265；243240；244551；247074；2414314516256065；25312313；26168170；273645；27120123；27364365；284553；289610028195197；29420421；304050；307278；30224226；31480481；326068；3212613032255257；334455；335665；33180183；33544545；34288290；358491；3512012535612613；364860；36

6、7785；36105111；36160164；36323325；37684685；38360362395265；398089；39252255；39760761；404258；407585；4096104；4019820240399401；41840841；425670；42144150；42440442；43924925；44117125；4424024444483485；456075；45108117；45200205；45336339；46528530；485573；4864804890102；48140148；48189195；48286290；48575577

7、；49168175；50120130；50624626516885；51140149；51432435；52165173；52336340；52675677；547290；5424024654728730；55132143；55300305；5690106；56105119；56192200；56390394；56783785577695；57176185；57540543；58840842；606387；6080100；6091109；6014415660175185；60221229；60297303；60448452；6089990