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1、学院学术论文题目:勾股数与勾股数组的解学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：6勾股数与勾股数组的解摘要：能够成为直角三角形三条边的长的三个正整数称为勾股数．勾股数的全体则组成勾股数的集合。对大于2的正整数x，给出了：求满足方程x^2+y^2=z^2的正整数解（y,z）的一个公式；由x所确定的正整数解（y,z）的个数；满足（x,y,z）=1的正整数解的充要条件。关键字：初中数学勾股数互补的约数对勾股整数勾股数组PythagoreantriplePythagoreansolutionwithQinLuoScienceandTechnologyDepart
2、mentofMathematics,JiangxiNormalUniversity330038Abstract:ThethreesidesofarighttrianglecanbealongthreepositiveintegersiscalledPythagoreantriple.PythagoreantripleiscomposedofallthesetofPythagoreantriple.Apositiveintegerlargerthan2x,isgiven:tomeetthedemandequationx^2+y^2=z^2ofpositivei
3、ntegersolutions(y,z)ofaformula;determinedbythexpositiveintegersolutions(y,z)thenumber;meet(x,y,z)=1forpositiveintegersolutionsofthenecessaryandsufficientconditions.Keywords:juniorhighschoolmathematicsPythagoreantriplecomplementaryaboutthenumberofintegersonthePythagoreanPythagorean6
4、引言1.1勾股数的定义勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也
5、没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。1.2直角三角形与勾股定理 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等1.3勾
6、股公式和证明证明： a=2mn b=m^2-n^26 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)
7、c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2+b^2=2(mod4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2=(c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2,N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p
8、M,p
9、N
10、,那么p
11、M+N(=c),p
12、M-N(=b),从而p
13、c,p
14、b,从而p
15、a，这与(a,b)=1矛盾所以(M,N)=1得证。1.4关于勾股定理还是有局限的 依照算术基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi
16、M,pi
17、N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2
18、M,pi^2
19、N，即M，N都是平方数。 设M=m^2,N=n^2 从而有c+b
20、=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2
