勾股数的性质与妙用

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1、勾股数的性质与妙用 兰州大学基础医学院（临床医学系）邮编—730107杨婷前言勾股数的发现是中国古代人民的智慧。当今，有人认为对勾股数的研究是初等代数民科。当你认真读完文本后，一定会对勾股数的性质有一个系统的认识，不仅可以简证费马大定理，更深层地发现高微空间上二微全息现象，给现代高微科学研究提供了理论依据。关键词：假定、勾股数、分解、倍、定位。摘要：根据整数的奇偶性质，得出勾股数的一般性质，应用到同形式高次幂的运算中，得出新结论。第一节：基本关系式。第二节：勾股数的性质。第三节：勾股数的妙用。第一节 基本关系式对于正整数X、Y、Z，当n≥2时。假定：X^n+Y^n=Z

2、^n                                                            ……（1）有整解，根据整数的奇偶性质，有下列三种情形：1.（2a+1）^n+（2b+1）^n=（2c）^n             （奇+奇=偶）2.（2a+1）^n+(2b)^n=(2c+1)^n                  （奇+偶=奇）3. （2a）^n+（2b）^n=（2c）^n                 （偶+偶-偶） 情形3式用偶2去穷除，其结果必然是情形1和情形2之一。若（1）式成立，仅证情形1和2即可，简写成一个基本关

3、系式：（2a+1）^2±(2b+1)^2=(2c)^n                (奇±奇=偶)                            ……（2）第二节 勾股数的性质一、  当n=2时，对于（2）式是有关勾股数的情形。1.（2a+1）^2+（2b+1）^2=（2c）^2                                                       ……（3）打开（3）式的括号并整理，可得：         2（a^2+b^2+a+b）=2c-1显见上式等号左边是偶值，右边是奇值，故不成立。简单说成：整数勾股，两奇不补2

4、.（2a+1）^2-（2b+1）^2=（2c）^2                                                     ……（4）打开（4）式的括号并整理，可得：                  （a-b）（a+b+1）=C^2                                               ……（5）根据整数的奇偶性质，a-b与a+b其结果奇偶性一致，则（a-b）与（a+b+1）乘积结果C^2一定是偶值，记为（2m）^2，因此（5）式可以写成：（a-b）（a+b+1）=（2m）^2   （c=2m） 

5、                                           ……（6）从上面的推导可以得出，当a、b、c满足（6）式的情形，则（2a+1）、（2b+1）、2c是一组勾股数（读者可以任意举例去验证，这里略）。（4）式是奇-奇=偶的情形，移项可以是奇+偶=奇的情形，可以简单说成：奇偶互补，必有勾股。二、  勾股数的共性:1.        若2a+1、2b+1、2c是一组勾股数，则（2a+1）^2-（2b+1）^2=(2c)^2成立，设R是大于1的正整数，有：[R（2a+1）] ^2-[R（2b+1）] ^2=（R·2c）^2上面运算说明，对于勾

6、股数2a+1，2b+1，2c，倍勾股数R（2a+1）,R(2b+1)，R(2c)也成立（例略），简单说成：若为勾股，倍也勾股。2.        若（2a+1）^2-(2b+1)^2=（2c）^2有整解，必要条件是a-b=1.①      根据(a-b)（a-b+1）=（2m）^2知，（a-b）与（a+b+1）是偶平方数（2m）^2的有效因式分解，将（2m）^2看作(2m)^2=1·（2m）^2，恰有一解a-b=1对应1，使得：                （2m）^2=a+b+1    （a-b=1）                                

7、         ……（7）                                    例证：          （2×1）^2=（2-1）（2+1+1）                （2×2）^2=（8-7）（8+7+1）                （2×3）^2=（18-17）（18+17+1）                （…）^2=（…）（…）结论：任意一个偶平方数（2m）^2，都可以分解为（a-b）（a+b+1）且a-b=1，对应两个相继奇数的平方差。② 若（a-b）（a+b+1）=（2m）^2有一组解满足：（a1-b1