勾股数的相关探究

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1、对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1•谁发现了勾股定理？2•勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下來我就这五个问题做出详细的解答。关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。《周札》卷十《地官。大司徒》有如卜•记载：“正口景（同”影“）以求地屮，日南则景短，多暑；H北则景长，多

2、寒”，“日至之景尺冇五寸,谓之地中”。而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里两者何其相似。曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序屮指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至口立表观测口地距。至今河南登封县还有周代观景台遗址。《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和丿力算的官员。《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。夫子之道,皆能知之。”可见陈子也是精通天文历算的学者。顺便指岀，大约也在公元前6世纪，被西方誉为

3、“测量Z租”的塔利斯曾利用口影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。其实金字塔在地而，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年來，人们对它的证明趋之若驚，其屮冇著名的数学家，也冇业余数学爱好者，有普通的老百姓，也冇尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要乂简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一木名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有

4、500余种，仅我国清末数学家华衡芳就捉供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法屮，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。1•中国方法画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个止方形全等，故面积相等。左图与右图各冇四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形而积Z和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是a2+b2=c2

5、o这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。至于三角形而积是同底等高的矩形而积Z半，则可用割补法得到(请读者自己证明)。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原木》屮的证法。以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基木观念：(1)全等形的而积相等；(2)一个图形分割成儿部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。我国历代数学家关于勾股定理的论证方法冇多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附

6、于《周髀算经》Z中的论文《勾股I员I方图注》屮的证明。采用的是割补法：如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做屮黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除Z，即弦也”O赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其屮有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

7、遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。如图，所建立的模型。S梯形ABCD二(a+b)2二(a2+2ab+b2),①又S梯形ABCD=SAAED+SAEBC+SACED=ab+ba+c2=(2ab+c2)o②比较以上二式，便得a2+b2=c2o这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。1876年4月1日，伽菲尔徳在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔徳就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明

8、，就把这一•证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学