勾股数的规律.doc

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1、所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时，我们就称这一组数为勾股数。那么，组成一组勾股数的三个正整数之间，是否具有一定的规律可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数：   规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有：    32=9=4+5 由（5，12，13）有：  52=25=12+13 由（7，24，25）有：  72=49=24+25 由（9，40，41）有：  92=81=40+41.   即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广

2、到一般，从而可得出以下公式：∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数） 勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有：   62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有：  82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有：  102=100=2×（24+26）   即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的

3、二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）   勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）   利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。