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时间:2020-06-15
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1、所谓勾股数,就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时,我们就称这一组数为勾股数。那么,组成一组勾股数的三个正整数之间,是否具有一定的规律可寻呢?下面我们一起来观察几组勾股数: 规律一:在勾股数(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)(9,40,41)中,我们发现 由(3,4,5)有: 32=9=4+5 由(5,12,13)有: 52=25=12+13 由(7,24,25)有: 72=49=24+25 由(9,40,41)有: 92=81=40+41. 即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此,我们把它推广
2、到一般,从而可得出以下公式:∵(2n+1)2=4n2+4n+1=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2(n为正整数) 勾股数公式一:(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)(n为正整数)规律二:在勾股数(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26)中,我们发现由(6,8,10)有: 62=36=2×(8+10)由(8,15,17)有: 82=64=2×(15+17)由(10,24,26)有: 102=100=2×(24+26) 即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的
3、二倍,推广到一般,从而可得出另一公式:∵(2n)2=4n2=2[(n2-1)+(n2+1)]∴(2n)2+(n2-1)2=(n2+1)2(n≥2且n为正整数) 勾股数公式二:(2n,n2-1,n2+1)(n≥2且n为正整数) 利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数。
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