勾股数的规律探究.doc

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1、勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c，两条直角边长分别为a、b，那么a2+b2=c2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a2+b2=c2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有的数的规律，把b、c用a的代数式表示出来，并写出①当a=2n（n为大于等于1的整数）时，b、c的值；②当n=20时，b、c的值．6

2、，8，1062+82=1028，15，1782+152=17210，24，26102+242=26212，35，37122+352=372……2n，b，c2n2+b2=c2观察得出表中已有数的规律为①②由①得（b+c）（c-b）=a2③把②代入③得b=-1，c=+1当a=2n时，b=-1=n2-1c=+1=n2+1当a=20时，b=102-1=99，c=102+1=101规律：当a是偶数2n（n为大于等于1整数）时，b为n2-1，c为n2+1，不难看出c=b+2，即2n，n2-1，n2+1为勾股数．下面我们再来探究为a奇数2n+1（n为大于1的整数

3、）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为①②把②代入①得b=③把③代入②得c=+1==当a=2n+1时，b=，c=规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为，c为，不难看出c=b+1，即2n+1，，为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=

4、1且40=，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．